Distribuciones de probabilidad - Estadística

3.- El área del recinto encerrado bajo la campana y el eje x es igual a la unidad.
Por tratarse de una función de densidad. Y al ser simétrica, deja igual área, 0,5, a
la izquierda y a la derecha de la recta x = µ. Esto se verifica porque:
+"
# f(x) =
!"
haciendo el cambio de variable
=
%
+$
#$
1
! 2"
#
x ! µ
" = y , entonces dx = σ dy, y por lo tanto
+"
!"
e# y2
2 !dy =
1
$ 2%
!µ)2
2$
e!(x 2
dx =
1
2"
%
+$
#$
y2
# 2 e dy =
1
2"
2" =1
ya que la última integral, conocida como la integral de Gauss vale 2! , ya que:
+" y2 !
+"
2 I = e dy = 2 e # !" # 0
! y2
2 dy = 2I1 y al multiplicar I1 por sí misma, y mediante métodos de integración doble, resulta su
cuadrado igual a π/2.
4.- Presenta puntos de inflexión en los puntos de abscisas µ + σ y µ - σ, donde cambia
de concavidad (lo que determina que cuánto mayor sea σ , más achatada sea la curva).
El punto de inflexión se obtiene al igualar a cero la derivada segunda, por lo tanto:
(x " µ)2
f'' (x) = 0 ! 1 "
# 2
= 0 !
x " µ
# = ±1! x = µ ± #
Así, pues, presenta puntos de inflexión en los puntos x = µ + σ y en x = µ - σ,
donde las coordenadas de los puntos son: en x = µ + σ
f(µ + !) =
y en el punto x = µ - σ
(µ +! #µ )2
1
2!
e#
! 2" 2
=
!2
1 2!
e#
! 2" 2
=
1
! 2" e# 1 2 =
1
! 2"e
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