CapítuloMuestra.pdf (6378.0K)

B
Mary Evans Picture Library −2 000
d 2
4 000
3 000
2 000
−1 000
−2 000
2c 5280 5 280
d2 d1 2a 2 2200 200
Figura 10.18
y
CAROLINE HERSCHEL (1750-1848)
La primera mujer a la que se le atribuyó
haber detectado un nuevo cometa fue a la
astrónoma inglesa Caroline Herschel. Durante
su vida, Caroline Herschel descubrió ocho
cometas.
d 1
A
2 000 3 000
x
SECCIÓN 10.1 Cónicas y cálculo 703
La aplicación siguiente fue desarrollada durante la Segunda Guerra Mundial.
Muestra cómo los radares y otros sistemas de detección pueden usar las propiedades
de la hipérbola.
EJEMPLO 8 Un sistema hiperbólico de detección
Dos micrófonos, a una milla de distancia entre sí, registran una explosión. El micrófono
A recibe el sonido 2 segundos antes que el micrófono B. ¿Dónde fue la explosión?
Solución Suponiendo que el sonido viaja a 1 100 pies por segundo, se sabe que la
explosión tuvo lugar 2 200 pies más lejos de B que de A, como se observa en la figura
10.18. El lugar geométrico de todos los puntos que se encuentran 2 200 pies más
cercanos a A que a B es una rama de la hipérbola donde
y
1 milla 5 280 pies
c = = = 2 640 pies
2 2
2 200 pies
a = = 1100 pies
2
Como c se tiene que
2 a2 b2 ,
b 2 c 2 a 2
5 759 600
y se puede concluir que la explosión ocurrió en algún lugar sobre la rama derecha de
la hipérbola dada por
x 2
y 2
1,210,000 1.
1 210 000 5 5,759,600 759 600
x 2 a 2 y 2 b 2 1,
En el ejemplo 8, sólo se pudo determinar la hipérbola en la que ocurrió la
explosión, pero no la localización exacta de la explosión. Sin embargo, si se hubiera
recibido el sonido también en una tercera posición C, entonces se habrían determinado
otras dos hipérbolas. La localización exacta de la explosión sería el punto en el que
se cortan estas tres hipérbolas.
Otra aplicación interesante de las cónicas está relacionada con las órbitas de los
cometas en nuestro sistema solar. De los 610 cometas identificados hasta antes de
1970, 245 tienen órbitas elípticas, 295 tienen órbitas parabólicas y 70 tienen órbitas
hiperbólicas. El centro del Sol es un foco de cada órbita, y cada órbita tiene un vértice
en el punto en el que el cometa se encuentra más cerca del Sol. Sin lugar a dudas,
aún no se identifican muchos cometas con órbitas parabólicas e hiperbólicas, dichos
cometas pasan una sola vez por nuestro sistema solar. Sólo los cometas con órbitas
elípticas como la del cometa Halley, permanecen en nuestro sistema solar.
El tipo de órbita de un cometa puede determinarse de la forma siguiente.
1. Elipse:
2. Parábola:
3. Hipérbola:
En estas tres fórmulas, p es la distancia entre un vértice y un foco de la órbita del cometa
(en metros), ν es la velocidad del cometa en el vértice (en metros por segundo),
kilogramos es la masa del Sol, y G 6.67 10 metros cúbicos
por kilogramo por segundo cuadrado es la constante de gravedad.
8
M 1.989 1030 v < 2GMp
v 2GMp
v > 2GMp