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π
r = f( θ)
π
2
3π
2
Recta tangente
(r, θ)
Recta tangente a una curva polar
Figura 10.45
( )
π
( 1, ) π
π
2
2
(0, 0) 1
2
3π
2
0
0
( , ) π
2
,
3π
2
2 4
2
Rectas tangentes horizontales y verticales a
r sen
Figura 10.46
4
Pendiente y rectas tangentes
SECCIÓN 10.4 Coordinadas polares y gráficas polares 733
Para encontrar la pendiente de una recta tangente a una gráfica polar, considerar una
función diferenciable (o derivable) dada por r f . Para encontrar la pendiente en
forma polar, se usan las ecuaciones paramétricas
x r cos f cos y y r sin sen f sen sin .
Mediante el uso de la forma paramétrica de dydx dada en el teorema 10.7, se obtiene
con lo cual se establece el teorema siguiente.
En el teorema 10.11 se pueden hacer las observaciones siguientes.
dy
dx
1. De las soluciones 0 se tiene una tangente horizontal, siempre que 0.
dx
dy
2. De las soluciones 0 se tiene una tangente vertical, siempre que 0.
Si y simultáneamente son 0, no se puede extraer ninguna conclusión
respecto a las rectas tangentes.
EJEMPLO 5 Hallar las rectas tangentes horizontales y verticales
Hallar las rectas tangentes horizontales y verticales a r sen sin , 0 ≤ ≤ .
Solución Para empezar se expresa la ecuación en forma paramétrica.
y
dy dyd
dx
dyd
x r cos sen sin cos
y r sin sin sin sin 2
Después, se derivan x y y con respecto de y se iguala a 0 cada una de las derivadas.
dx
d cos2 sin 2 cos 2 0
dy
2 sen sin cos sen
sin 2 0
d
dxd
f cos f sen sin
f sen sin f cos
TEOREMA 10.11 Pendiente en forma polar
Si f es una función diferenciable (o derivable) de , entonces la pendiente de la
recta tangente a la gráfica de r f en el punto r, es
dy
dx
dyd f cos f sen sin
f sen sin f cos
dxd
siempre que en r, . (Ver la figura 10.45.)
dxd
dxd 0
d
d
sen sen sen sen
sen
0,
3
,
4 4
Por tanto, la gráfica tiene rectas tangentes verticales en 22, 4 y 22, 34,
y tiene rectas tangentes horizontales en 0, 0 y 1, 2, como se muestra en la figura
10.46.
2
d
d