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748 CAPÍTULO 10 Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
Sección 10.6 Ecuaciones polares de las cónicas y leyes de Kepler
EXPLORACIÓN
Representación gráfica de cónicas
En una graficadora elegir el modo
polar e introducir ecuaciones polares
de la forma
o
r
a
1 ± b cos
a
r
1 ± b sin .
sen
Si a 0, la gráfica será una cónica.
Describir los valores de a y b que
generan parábolas. ¿Qué valores generan
elipses? ¿Qué valores generan
hipérbolas?
• Analizar y dar las ecuaciones polares de las cónicas.
• Entender y emplear las leyes del movimiento planetario de Kepler.
Ecuaciones polares de las cónicas
En este capítulo se ha visto que las ecuaciones rectangulares de elipses e hipérbolas
adquieren formas simples cuando sus centros se encuentran en el origen. Sin embargo,
existen muchas aplicaciones importantes de las cónicas en las cuales resulta más
conveniente usar uno de los focos como punto de referencia (el origen) del sistema de
coordenadas. Por ejemplo, el Sol se encuentra en uno de los focos de la órbita de la
Tierra; la fuente de luz en un reflector parabólico se encuentra en su foco. En esta sección
se verá que las ecuaciones polares de las cónicas adoptan formas simples si uno
de los focos se encuentra en el polo.
El teorema siguiente usa el concepto de excentricidad, como se define en la sección
10.1, para clasificar los tres tipos básicos de cónicas. En el apéndice A se da una
demostración de este teorema.
Directriz
Q
TEOREMA 10.16 Clasificación de las cónicas de acuerdo
con la excentricidad
Sean F un punto fijo (foco) y D una recta fija (directriz) en el plano. Sean P
otro punto en el plano y e (excentricidad) el cociente obtenido al dividir la distancia
de P a F entre la distancia de P a D. El conjunto de todos los puntos P
con una determinada excentricidad es una cónica.
1. La cónica es una elipse si 0 < e < 1.
2. La cónica es una parábola si e 1.
3. La cónica es una hipérbola si e > 1.
P
π
2
F = (0, 0)
0
Directriz
Q
P
π
2 Directriz
F = (0, 0)
Elipse: 0 < e < 1 Parábola: e 1
Hipérbola: e > 1
PF
< 1
PQ
Figura 10.58
PF PQ
PF P F
> 1
PQ
En la figura 10.58 obsérvese que en todos los tipos de cónicas el polo coincide
con el punto fijo (foco) que se da en la definición. La ventaja de esta ubicación se
aprecia en la demostración del teorema siguiente.
0
P′
PQ
Q
Q′
P
π
2
0
F = (0, 0)