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748 CAPÍTULO 10 Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares Sección 10.6 Ecuaciones polares de las cónicas y leyes de Kepler EXPLORACIÓN Representación gráfica de cónicas En una graficadora elegir el modo polar e introducir ecuaciones polares de la forma o r a 1 ± b cos a r 1 ± b sin . sen Si a 0, la gráfica será una cónica. Describir los valores de a y b que generan parábolas. ¿Qué valores generan elipses? ¿Qué valores generan hipérbolas? • Analizar y dar las ecuaciones polares de las cónicas. • Entender y emplear las leyes del movimiento planetario de Kepler. Ecuaciones polares de las cónicas En este capítulo se ha visto que las ecuaciones rectangulares de elipses e hipérbolas adquieren formas simples cuando sus centros se encuentran en el origen. Sin embargo, existen muchas aplicaciones importantes de las cónicas en las cuales resulta más conveniente usar uno de los focos como punto de referencia (el origen) del sistema de coordenadas. Por ejemplo, el Sol se encuentra en uno de los focos de la órbita de la Tierra; la fuente de luz en un reflector parabólico se encuentra en su foco. En esta sección se verá que las ecuaciones polares de las cónicas adoptan formas simples si uno de los focos se encuentra en el polo. El teorema siguiente usa el concepto de excentricidad, como se define en la sección 10.1, para clasificar los tres tipos básicos de cónicas. En el apéndice A se da una demostración de este teorema. Directriz Q TEOREMA 10.16 Clasificación de las cónicas de acuerdo con la excentricidad Sean F un punto fijo (foco) y D una recta fija (directriz) en el plano. Sean P otro punto en el plano y e (excentricidad) el cociente obtenido al dividir la distancia de P a F entre la distancia de P a D. El conjunto de todos los puntos P con una determinada excentricidad es una cónica. 1. La cónica es una elipse si 0 < e < 1. 2. La cónica es una parábola si e 1. 3. La cónica es una hipérbola si e > 1. P π 2 F = (0, 0) 0 Directriz Q P π 2 Directriz F = (0, 0) Elipse: 0 < e < 1 Parábola: e 1 Hipérbola: e > 1 PF < 1 PQ Figura 10.58 PF PQ PF P F > 1 PQ En la figura 10.58 obsérvese que en todos los tipos de cónicas el polo coincide con el punto fijo (foco) que se da en la definición. La ventaja de esta ubicación se aprecia en la demostración del teorema siguiente. 0 P′ PQ Q Q′ P π 2 0 F = (0, 0)
P = (r, θ) r Figura 10.59 y θ d F = (0, 0) Directriz y = d r = ed 1 + e senθ Q Directriz x 0 SECCIÓN 10.6 Ecuaciones polares de las cónicas y leyes de Kepler 749 TEOREMA 10.17 Ecuaciones polares de las cónicas La gráfica de una ecuación polar de la forma o es una cónica, donde es la excentricidad y es la distancia entre el foco, en el polo y la directriz correspondiente. d ed r 1 ± e cos ed r 1 ± e sen sin e > 0 Demostración La siguiente es una demostración de con En la figura 10.59, considérese una directriz vertical que se encuentra unidades a la derecha del foco Si es un punto en la gráfica de se puede demostrar que la distancia entre y la directriz es Como la distancia entre y el polo es simplemente el radio entre es PFPQ y, de acuerdo con el teorema 10.16, la gráfica de la ecuación debe ser una cónica. Las demostraciones de los otros casos son similares. rre PF r , PF PQ e e P PQ d x d r cos r1 e cos r cos e r e . r ed1 e cos d > 0. d F 0, 0. P r, r ed1 e cos , P Los cuatro tipos de ecuaciones que se indican en el teorema 10.17 se pueden clasificar como sigue, siendo d > 0. a) Directriz horizontal arriba del polo: b) Directriz horizontal abajo del polo: c) Directriz vertical a la derecha del polo: ed r 1 e sen sin ed r 1 e sen sin ed d) Directriz vertical a la izquierda del polo: r 1 e cos La figura 10.60 ilustra estas cuatro posibilidades en el caso de una parábola. y Directriz y = − d r = ed 1 − e sen θ x y r = ed 1 + e cosθ r Directriz x = d ed 1 e cos a) b) c) d) Los cuatro tipos de ecuaciones polares para una parábola Figura 10.60 x Directriz x = −d y r = ed 1 − e cosθ x
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