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En los ejercicios 39 a 42, eliminar el parámetro y obtener la
forma estándar o canónica de la ecuación rectangular.
39. Recta que pasa por x1, y1 y x2, y2: x x 1 tx 2 x 1, y y 1 ty 2 y 1
40. Círculo: x h r cos , y k r sen
sin
41. Elipse: x h a cos , y k b sin
42. Hipérbola: x h a sec , y k b tan
En los ejercicios 43 a 50, emplear los resultados de los ejercicios
39 a 42 para hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas
para la recta o para la cónica.
43. Recta: pasa por (0, 0) y 5, 2
44. Recta: pasa por (1, 4) y 5, 2
45. Círculo: centro: (2, 1); radio: 4
46. Círculo: centro: 3, 1;
radio: 3
47. Elipse: vértice: ±5, 0;
foco: ±4, 0
48. Elipse: vértices: (4, 7), 4, 3; foco: (4, 5), 4, 1
49. Hipérbola: vértice: ±4, 0; foco: ±5, 0
50. Hipérbola: vértice: 0, ±1; foco: 0, ±2
En los ejercicios 51 a 54, hallar dos conjuntos diferentes de
ecuaciones paramétricas para la ecuación rectangular.
51. y 3x 2
52.
53. 54. y x2 y x3 En los ejercicios 55 a 62, emplear una graficadora para representar
la curva descrita por las ecuaciones paramétricas.
Indicar la dirección de la curva e identificar todos los puntos en
los que la curva no sea suave.
55. Cicloide:
56. Cicloide:
57. Cicloide alargada:
58. Cicloide alargada:
59. Hipocicloide: x 3 cos
60. Cicloide corta: x 2 sin , y 2 cos
61. Hechicera o bruja de Agnesi:
3 , y 3 sin3 x
x 2 4 sin , y 2 4 cos
3
x 2 sen sin , y 21 cos
x sen sin , y 1 cos
3
2 sen sin , y 1 2 cos
sen
sen
sen
sen
62. Hoja o folio de Descartes:
Desarrollo de conceptos
y 2
x 1
x 2 cot , y 2 sin 2
x 3t 3t2
1 t3, y
1 t3 63. Establecer la definición de una curva plana dada por ecuaciones
paramétricas.
64. Explicar el proceso del trazado de una curva plana dada por
ecuaciones paramétricas. ¿Qué se entiende por orientación
de la curva?
65. Dar la definición de curva suave.
SECCIÓN 10.2 Curvas planas y ecuaciones paramétricas 717
67. Cicloide corta Un disco de radio a rueda a lo largo de una
recta sin deslizar. La curva trazada por un punto P que se encuentra
a b unidades del centro b < a se denomina cicloide
corta o acortada (ver la figura). Usar el ángulo θ para hallar un
conjunto de ecuaciones paramétricas para esta curva.
2a
Desarrollo de conceptos (continuación)
66. Asociar cada conjunto de ecuaciones paramétricas con su
gráfica correspondiente. [Las gráficas están etiquetadas a),
b), c), d), e) y f).] Explicar el razonamiento.
a) y
b)
y
y
c) y
d)
e) y
f)
i)
ii)
iii) Curva de Lissajous:
iv) Evoluta de una elipse: x cos
v) Evolvente o involuta de un círculo:
x cos sin , y sin cos
vi) Curva serpentina: x cot , y 4 sin cos
3 , y 2 sin3 x sin y sin 2
x 4 cos , y 2 sin 2
2 x t y t 2
1,
2 1,
sen sen
sen
sen3 sen sen
sen
P
θ
−2
b
4
1
−1 −1
a
(0, a − b)
−1
2
−2
3
2
1
−3 −2 −1
−3
1
1
1 2 3 4
( πa,
a + b)
2
2
Figura para 67 Figura para 68
3
x
x
x
x
4
3
1
−1 −1
y
4
1
−3−2−11 2 3
−2
−2
−2
−3
−4
y
θ
1
4
3
2
4
2
1
−4
y
2
3
1 2 3 4
(x, y)
3
x
4
x
x
x