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718 CAPÍTULO 10 Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares 68. Epicicloide Un círculo de radio 1 rueda sobre otro círculo de radio 2. La curva trazada por un punto sobre la circunferencia del círculo más pequeño se llama epicicloide (ver la figura en la página anterior). Usar el ángulo θ para hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas de esta curva. ¿Verdadero o falso? En los ejercicios 69 y 70, determinar si la afirmación es verdadera o falsa. En caso de que sea falsa, explicar por qué o dar un ejemplo que muestre que es falsa. 69. La gráfica de las ecuaciones paramétricas y y t es la recta y x. 70. Si y es función de t y x es función de t, entonces y es función de x. 2 x t2 Movimiento de un proyectil En los ejercicios 71 y 72, considerar un proyectil que se lanza a una altura de h pies sobre el suelo y a un ángulo con la horizontal. Si la velocidad inicial es pies por segundo, la trayectoria del proyectil queda descrita por las ecuaciones paramétricas y y h v0 sin t 16t 71. La cerca que delimita el jardín central en un parque de béisbol tiene una altura de 10 pies y se encuentra a 400 pies del plato de home. La pelota es golpeada por el bate a una altura de 3 pies 2 v0 x v0 cos t sen . sobre el suelo. Si la pelota se aleja del bate con un ángulo de grados con la horizontal a una velocidad de 100 millas por hora (ver la figura). θ 3 pies a) Dar un conjunto de ecuaciones paramétricas para la trayectoria de la pelota. b) Usar una graficadora para representar la trayectoria de la pelota si ¿Es el golpe un home run? c) Usar una graficadora para representar la trayectoria de la pelota si ¿Es el golpe un home run? d) Hallar el ángulo mínimo al cual la pelota debe alejarse del bate si se quiere que el golpe sea un home run. 72. Una ecuación rectangular para la trayectoria de un proyectil es y 5 x 0.005x a) Eliminar el parámetro t de la función de posición del movimiento de un proyectil para mostrar que la ecuación rectangular es 2 . 15. 23. 400 pies y 16 sec2 v 0 2 x 2 tan x h. 10 pies b) Usar el resultado del apartado a) para hallar h, v 0 y θ. Hallar las ecuaciones paramétricas de la trayectoria. c) Usar una graficadora para trazar la gráfica de la ecuación rectangular de la trayectoria del proyectil. Confirmar la respuesta dada en el apartado b) y dibujar la curva representada por las ecuaciones paramétricas. d) Usar una graficadora para aproximar la altura máxima del proyectil y su rango. Proyecto de la trabajo: Cicloides En griego, la palabra cycloid significa rueda, la palabra hipocicloide significa bajo la rueda, y la palabra epicicloide significa sobre la rueda. Asociar la hipocicloide o epicicloide con su gráfica. [Las gráficas están marcadas a), b), c), d), e) y f).] Hipocicloide, H(A, B) Trayectoria descrita por un punto fijo en un círculo de radio B que rueda a lo largo de la cara interior de un círculo de radio A A B x A B cos t B cos B t A B y A B sin t B sin B t sen sen Epicicloide, E(A, B) Trayectoria descrita por un punto fijo en un círculo de radio B que rueda a lo largo de la cara exterior de un círculo de radio A A B x A B cos t B cos B t A B y A B sin t B sin B t sen sen I. H(8, 3) II. E(8,3) III. H(8, 7) IV. E(24, 3) V. H(24, 7) VI. E(24, 7) a) y b) c) y d) e) y f) x x x Ejercicios basados en “Mathematical Discovery via Computer Graphics: Hypocycloids and Epicycloids” de Florence S. Gordon y Sheldon P. Gordon, College Mathematics Journal, noviembre de 1984, p. 441. Uso autorizado por los autores. y y y x x x
30 20 10 y 45° Sección 10.3 Ecuaciones paramétricas y cálculo x = 24 2t y = −16t 2 + 24 2t 10 20 En el momento t, el ángulo de elevación del proyectil es θ, la pendiente de la recta tangente en ese punto Figura 10.29 y ( f(t), g(t)) ∆x 30 ( f(t + ∆t), g(t + ∆t)) θ ∆y La pendiente de la recta secante que pasa por los puntos ft, gt y ft t, gt t es y x. Figura 10.30 x x SECCIÓN 10.3 Ecuaciones paramétricas y cálculo 719 • Hallar la pendiente de una recta tangente a una curva dada por un conjunto de ecuaciones paramétricas. • Hallar la longitud de arco de una curva dada por un conjunto de ecuaciones paramétricas. • Hallar el área de una superficie de revolución (forma paramétrica). Pendiente y rectas tangentes Ahora que ya se sabe representar una gráfica en el plano mediante un conjunto de ecuaciones paramétricas, lo natural es preguntarse cómo emplear el cálculo para estudiar estas curvas planas. Para empezar, hay que dar otra mirada al proyectil representado por las ecuaciones paramétricas y y 16t como se ilustra en la figura 10.29. De lo visto en la sección 10.2, se sabe que estas ecuaciones permiten localizar la posición del proyectil en un instante dado. También se sabe que el objeto es proyectado inicialmente con un ángulo de 45°. Pero, ¿cómo puede encontrarse el ángulo θ que representa la dirección del objeto en algún otro instante t? El teorema siguiente responde a esta pregunta proporcionando una fórmula para la pendiente de la recta tangente en función de t. 2 x 242t 242t TEOREMA 10.7 Forma paramétrica de la derivada Si una curva suave C está dada por las ecuaciones y entonces la pendiente de C en es dy dydt dx 0. dx dxdt dt , x f t y gt, x, y Demostración En la figura 10.30, considérese t > 0 y sea y gt t gt y x f t t f t. Como x → 0 cuando t → 0, se puede escribir dy lim dx x→0 y lím x lím lim t→0 Dividiendo tanto el numerador como el denominador entre t, se puede emplear la derivabilidad o diferenciabilidad de f y g para concluir que gt gt t gt lim t→0 t f t t f t lim t→0 t ft dy gt t gtt lím lim dx t→0 f t t f tt lím dydt dxdt . gt t gt f t t f t .
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