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730 CAPÍTULO 10 Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares Polo y θ (Origen) r x (r, θ) (x, y) y Eje polar (eje x) Relación entre coordenadas polares y rectangulares Figura 10.38 (r, θ) = (2, π) 2 1 −2 −1 (x, y) = (−2, 0) −1 −2 y (r, θ ) = ( , π 3 6) (x, y) = 3 ( , 2 3 2 ) Para pasar de coordenadas polares a rectangulares, se hace x r cos y y r sen . Figura 10.39 2 (r, θ ) = ( , 3π 2 4 ) 1 (x, y) = (−1, 1) −2 −1 y 1 2 (r, θ ) = ( 2 , ) (x, y) = (0, 2) π 2 1 2 Para pasar de coordenadas rectangulares a polares, se toma tan y r x Figura 10.40 2 y 2 . yx x x x Transformación (o cambio) de coordenadas Para establecer una relación entre coordenadas polares y rectangulares, se hace coincidir el eje polar con el eje x positivo y el polo con el origen, como se ilustra en la figura 10.38. Puesto que se encuentra en un círculo de radio se sigue que Para la definición de las funciones trigonométricas implica que y sin Si r < 0, estas relaciones también son válidas, como se puede verificar. y r . x cos r , y tan x , r r > 0, 2 x2 y 2 x, y r, . sen TEOREMA 10.10 Transformación (o cambio) de coordenadas Las coordenadas polares de un punto están relacionadas con las coordenadas rectangulares de ese punto como sigue. 1. 2. r 2 x2 y 2 tan y r sin y r, x, y x r cos x sen EJEMPLO 1 Transformación (o cambio) de coordenadas polares a rectangulares a) Dado el punto y Por tanto, las coordenadas rectangulares son b) Dado el punto y y 3 sin Por tanto, las coordenadas rectangulares son x, y 32, 32. Ver la figura 10.39. 3 6 2 . r, 2, , x r cos 2 cos 2 y r sen sin 2 sen sin 0. x, y 2, 0. r, 3, 6, 3 x 3 cos 6 2 sen EJEMPLO 2 Transformación (o cambio) de coordenadas rectangulares a polares a) Dado el punto del segundo cuadrante x, y 1, 1, y tan x 1 Como se eligió en el mismo cuadrante que x, y, se debe usar un valor positivo para r. r x 2 y 2 Esto implica que un conjunto de coordenadas polares es r, 2, 34. b) Dado que el punto x, y 0, 2 se encuentra en el eje y positivo, se elige y r 2, y un conjunto de coordenadas polares es r, 2, 2. 2 1 2 1 2 2 Ver la figura 10.40. 3 4 .
π π 2 3π 2 a) Círculo: r 2 π π 2 3π 2 1 2 3 b) Recta radial: 3 π π 2 3π 2 c) Recta vertical: Figura 10.41 −9 9 6 −6 Espiral de Arquímedes Figura 10.42 0 1 2 3 0 1 2 3 0 r sec Gráficas polares SECCIÓN 10.4 Coordinadas polares y gráficas polares 731 Una manera de trazar la gráfica de una ecuación polar consiste en transformarla a coordenadas rectangulares para luego trazar la gráfica de la ecuación rectangular. EJEMPLO 3 Trazado de ecuaciones polares Describir la gráfica de cada ecuación polar. Confirmar cada descripción transformando la ecuación a ecuación rectangular. a) b) c) Solución a) La gráfica de la ecuación polar consta de todos los puntos que se encuentran a dos unidades del polo. En otras palabras, esta gráfica es un círculo que tiene su centro en el origen y radio 2. [Ver la figura 10.41a).] Esto se puede confirmar utilizando la relación r para obtener la ecuación rectangular 2 x2 y 2 r 2 r sec 3 r 2 x 2 y 2 2 2 . Ecuación rectangular. b) La gráfica de la ecuación polar consta de todos los puntos sobre la semirrecta que forma un ángulo de 3 con el semieje x positivo. [Ver la figura 10.41b).] Para confirmar esto, se puede utilizar la relación tan yx para obtener la ecuación rectangular y 3 x. Ecuación rectangular. c) La gráfica de la ecuación polar r sec no resulta evidente por inspección simple, por lo que hay que empezar por pasarla a la forma rectangular mediante la relación r cos x. r sec r cos 1 x 1 3 Ecuación polar. Ecuación rectangular. Por la ecuación rectangular se puede ver que la gráfica es una recta vertical. [Ver la figura 10.41c).] TECNOLOGÍA Dibujar a mano las gráficas de ecuaciones polares complicadas puede ser tedioso. Sin embargo, con el empleo de la tecnología, la tarea no es difícil. Si la graficadora que se emplea cuenta con modo polar, usarlo para trazar la gráfica de las ecuaciones de la serie de ejercicios. Si la graficadora no cuenta con modo polar, pero sí con modo paramétrico, se puede trazar la gráfica de r f expresando la ecuación como x f cos y f sen sin . Por ejemplo, la gráfica de r que se muestra en la figura 10.42, se generó con una graficadora en modo paramétrico. La gráfica de la ecuación se obtuvo usando las ecuaciones paramétricas 1 y 1 x 2 1 2 cos sin sen 2 con valores de que van desde hasta 4. Esta curva es de la forma r a y se denomina espiral de Arquímedes. 4
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