CapítuloMuestra.pdf (6378.0K)

More documents

Recommendations

Info

722 CAPÍTULO 10 Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares NOTA Al aplicar la fórmula para la longitud de arco a una curva, hay que asegurarse de que la curva recorra una sola vez en el intervalo de integración. Por ejemplo, el círculo dado por x cos t y y sen t, recorre una sola vez el intervalo 0 ≤ t ≤ 2, pero recorre dos veces el intervalo 0 ≤ t ≤ 4. −6 ARCO DE UNA CICLOIDE La longitud de un arco de una cicloide fue calculada por vez primera en 1658 por el arquitecto y matemático inglés Christopher Wren, famoso por reconstruir muchos edificios e iglesias en Londres, entre los que se encuentra la Catedral de St. Paul. 2 −2 −2 −6 2 x = 5 cos t − cos 5t y = 5 sen t − sen 5t y t se incrementa Un punto en el círculo pequeño es el que traza una epicicloide en la medida que el círculo pequeño rueda alrededor del círculo grande Figura 10.33 x En la sección anterior se vio que si un círculo rueda a lo largo de una recta, cada punto de su circunferencia trazará una trayectoria llamada cicloide. Si el círculo rueda sobre otro círculo, la trayectoria del punto es una epicicloide. El ejemplo siguiente muestra cómo hallar la longitud de arco de una epicicloide. EJEMPLO 4 Calcular la longitud de arco Un círculo de radio 1, rueda sobre otro círculo mayor de radio 4, como se muestra en la figura 10.33. La epicicloide trazada por un punto en el círculo más pequeño está dada por y TEOREMA 10.8 Longitud de arco en forma paramétrica Si una curva suave C está dada por y y C no se interseca a sí misma en el intervalo (excepto quizá en los puntos terminales), entonces la longitud de arco de C en ese intervalo está dada por b s a dx dt 2 dy dt 2 b dt ft a 2 gt 2 x f t y gt a ≤ t ≤ b dt. x 5 cos t cos 5t y 5 sen sin t sen sin 5t. Hallar la distancia recorrida por el punto al dar una vuelta completa alrededor del círculo mayor. Solución Antes de aplicar el teorema 10.8, hay que observar en la figura 10.33 que la curva tiene puntos angulosos en t 0 y t 2. Entre estos dos puntos, dxdt y dydt no son simultáneamente 0. Por tanto, la porción de la curva que se genera de t 0 a t 2 es suave. Para hallar la distancia total recorrida por el punto, calcular la longitud de arco que se encuentra en el primer cuadrante y multiplicar por 4. Forma paramétrica de la longitud de arco. 2 20 4 sin Identidad trigonométrica. 0 2 40 sin 2t dt 2 2 4 5 sin t 5 sin 5t 0 2 20 2 2 sin t sin 5t 2 cos t cos 5t dt 0 2 20 2 2 cos 4t dt 0 2t dt 2 5 cos t 5 cos 5t2 0 dt dx dt 2 dy dt 2 dt sen sen sen sen sen sen 2 2 s 4 0 2 20cos 2t 0 40 Para la epicicloide de la figura 10.33, 40 parece una longitud de arco correcta, puesto que la circunferencia de un círculo de radio 6 es 2r 12 37.7.
Figura 10.34 0.5 pulg y θ 2 pulg x = r cos θ y = r senθ (x, y) 0.001 pulg NOTA La gráfica de r a se llama espiral de Arquímedes. La gráfica de r θ/2 000((ejemplo 5) es de este tipo. r x SECCIÓN 10.3 Ecuaciones paramétricas y cálculo 723 EJEMPLO 5 Longitud de una cinta magnetofónica Una cinta magnetofónica de 0.001 pulgada de espesor se enrolla en una bobina cuyo radio interior mide 0.5 pulgada y cuyo radio exterior mide 2 pulgadas, como se muestra en la figura 10.34. ¿Cuánta cinta se necesita para llenar la bobina? Solución Para crear un modelo para este problema, supóngase que a medida que la cinta se enrolla en la bobina su distancia r al centro se incrementa en forma lineal a razón de 0.001 pulgada por revolución, o donde está medido en radianes. Se pueden determinar las coordenadas del punto (x, y) correspondientes a un radio dado y Al sustituir r, se obtienen las ecuaciones paramétricas y y sin . 2000 La fórmula de la longitud de arco se puede emplear para determinar que la longitud total de la cinta es s x r 0.001 x r cos y r sin . cos 2000 1 000 4 000 4 000 sen sen 2 000 2 000 4 000 1 2 000 2000 2000 1 2 000 1 2000 1 2 000 11,781 11 781 inches pulgadas 982 feet pies PARA MAYOR INFORMACIÓN Para más información sobre las matemáticas de una cinta magnetofónica, consultar “Tape Counters” de Richard L. Roth en The American Mathematical Monthly. La longitud de la cinta del ejemplo 5 puede ser aproximada si se suman las porciones circulares de la cinta. El radio de la más pequeña es de 0.501 y el radio de la más grande es de 2. s 20.501 20.502 20.503 . . . 22.000 1500 1 500 20.5 0.001i i1 4000 1000 1 000 2 4000 1000 4000 1000 2 2 15000.5 1 500(0.5 0.001(1 0.001150015012 500)(1 501)/2 11 11,786 786 inches pulgadas 2000 , dx d 2 dy d 2 4 000 1 000 4 000 1 000 sin cos 2 cos sin 2 d 2 1 d 1000 ≤ ≤ 4000 d 2 2 1 ln 2 1 4000 4 000 1 000 sen sen 1000 Tablas de integración (apéndice B), fórmula 26.
Page 1 and 2: Para representar gráficamente una
Page 3 and 4: Parábola Directriz Figura 10.3 Foc
Page 5 and 6: Bettmann/Corbis NICOLÁS COPÉRNICO
Page 7 and 8: PARA MAYOR INFORMACIÓN Para más i
Page 9 and 10: d 2 (x, y) Foco Foco Figura 10.14 d
Page 11 and 12: B Mary Evans Picture Library −2 0
Page 13 and 14: 43. Centro: 0, 0 44. Centro: 1, 2 E
Page 15 and 16: 98. Órbita de la Tierra La Tierra
Page 17 and 18: 18 9 y (0, 0) t = 0 9 SECCIÓN 10.2
Page 19 and 20: −2 −1 1 −1 −2 −3 t = 3 t
Page 21 and 22: −2 m = 2 m = 4 Figura 10.24 1 −
Page 23 and 24: A B C El tiempo que requiere un pé
Page 25 and 26: En los ejercicios 39 a 42, eliminar
Page 27 and 28: 30 20 10 y 45° Sección 10.3 Ecuac
Page 29: x = 2t − πsen t y = 2 − π cos
Page 33 and 34: En los ejercicios 1 a 4, hallar dy/
Page 35 and 36: Área de una superficie En los ejer
Page 37 and 38: O SECCIÓN 10.4 Coordinadas polares
Page 39 and 40: π π 2 3π 2 a) Círculo: r 2 π
Page 41 and 42: π r = f( θ) π 2 3π 2 Recta tang
Page 43 and 44: Caracoles r a ± b cos r a ± b
Page 45 and 46: 54. Fórmula para la distancia a) V
Page 47 and 48: θ SECCIÓN 10.5 Área y longitud d
Page 49 and 50: PARA MAYOR INFORMACIÓN Para más i
Page 51 and 52: NOTA Cuando se aplica la fórmula d
Page 53 and 54: Ejercicios de la sección 10.5 En l
Page 55 and 56: 65. Área de la superficie de un to
Page 57 and 58: P = (r, θ) r Figura 10.59 y θ d F
Page 59 and 60: π Mary Evans Picture Library JOHAN
Page 61 and 62: Ejercicios de la sección 10.6 Razo
Page 63 and 64: 57. Explorer 18 El 27 de noviembre
Page 65 and 66: En los ejercicios 31 a 34, hallar u
Page 67 and 68: SP Solución de problemas 1. Consid

CapítuloMuestra.pdf (6378.0K)

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?