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57. Explorer 18 El 27 de noviembre de 1963, Estados Unidos
lanzó el Explorer 18. Sus puntos bajo y alto sobre la superficie de la
Tierra fueron aproximadamente 119 millas y 123 000 millas,
respectivamente (ver la figura). El centro de la Tierra es el foco de
la órbita. Hallar la ecuación polar de la órbita y hallar la distancia
entre la superficie de la Tierra y el satélite cuando (Tomar
como radio de la Tierra 4 000 millas.)
90°
Explorer 18
58. Movimiento planetario Los planetas giran en órbitas elípticas
con el Sol como uno de sus focos, como se muestra en la
figura.
π
2
r
r
Sol
60°
Tierra
Planeta
θ
a) Mostrar que la ecuación polar de la órbita está dada por
r 1 e2 a
1 e cos
donde e es la excentricidad.
b) Mostrar que la distancia mínima (perihelio) entre el Sol y el
planeta es r a1 e y que la distancia máxima (afelio)
es r a1 e.
En los ejercicios 59 a 62, usar el ejercicio 58 para hallar la
ecuación polar de la órbita elíptica del planeta, así como las distancias
perihelio y afelio.
59. Tierra kilómetros
a 1.496 10 8
e 0.0167
60. Saturno kilómetros
a 1.427 10 9
e 0.0542
61. Plutón kilómetros
a 5.906 10 9
e 0.2488
62. Mercurio kilómetros
a 5.791 10 7
e 0.2056
a
a
60.
SECCIÓN 10.6 Ecuaciones polares de las cónicas y leyes de Kepler 755
0
No está dibujado a escala
0
No está dibujado a escala
63. Movimiento planetario En el ejercicio 61 se encontró la
ecuación polar para la órbita elíptica de Plutón. Usar la ecuación y
un sistema computacional para álgebra.
a) Aproximar el área que barre un rayo que va del Sol al planeta
cuando aumenta de 0 a /9. Emplear este resultado para
determinar cuántos años necesita Plutón para recorrer este
arco, si el periodo de una revolución alrededor del Sol es de
248 años.
b) Por ensayo y error, aproximar el ángulo tal que el área
barrida por un rayo que va del Sol al planeta cuando
aumenta de a sea igual al área encontrada en el apartado
a) (ver la figura). ¿Barre el rayo un ángulo mayor o
menor que el del apartado a), para generar la misma área?
¿A qué se debe?
α − π
π
2
θ =
π
9
0
c) Aproximar las distancias que recorrió el planeta en los
apartados a) y b). Usar estas distancias para aproximar la
cantidad promedio de kilómetros al año que recorrió el planeta
en los dos casos.
64. Cometa Hale-Bopp El cometa Hale-Bopp tiene una órbita
elíptica con el Sol en uno de sus focos y una excentricidad
de e 0.995. La longitud del eje mayor de la órbita es aproximadamente
250 unidades astronómicas.
a) Hallar la longitud del eje menor.
b) Hallar la ecuación polar de la órbita.
c) Hallar el perihelio y el afelio.
En los ejercicios 65 y 66, sea la distancia del foco al vértice
más cercano, y la distancia del foco al vértice más lejano.
65. Mostrara que la excentricidad de una elipse puede expresarse
como
r1 1 e
Después mostrar que
r0 1 e
66. Mostar que la excentricidad de una hipérbola puede expresarse
como
.
e r r0 r1 1 r0 .
r1 r0 Después mostrar que
e r1 r0 .
r1 r0 r1 e 1
r0 e 1 .
En los ejercicios 67 y 68, mostrar que las gráficas de las ecuaciones
dadas se cortan en ángulo recto.
67.
ed
r
1 sen sin
y
ed
r
1 sen
sin
68.
c
r
1 cos
y
d
r
1 cos