CapítuloMuestra.pdf (6378.0K)

746 CAPÍTULO 10 Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
En los ejercicios 31 a 36, emplear una graficadora para representar
las ecuaciones polares y hallar el área de la región dada.
31. Interior común a r 4 sen sin 2 y r 2
32. Interior común a r 31 sen sin y r 31 sen sin
33. Interior común a r 3 2 sen sin y r 3 2 sen sin
34. Interior común a r 5 3 sen
sin y r 5 3 cos
35. Interior común a r 4 sen sin y r 2
36. Interior a r 3 sen sin y exterior a r 2 sen sin
En los ejercicios 37 a 40, hallar el área de la región.
37. En el interior de r a1 cos y en el exterior de r a cos
38. En el interior de r 2a cos y en el exterior de r a
39. Interior común a r a1 cos y r a sin sen
40. Interior común a r a cos y a r a sen donde a > 0
41. Radiación de una antena La radiación proveniente de una
antena de transmisión no es uniforme en todas direcciones. La
intensidad de la transmisión proveniente de una determinada
antena se describe por medio del modelo
a) Transformar la ecuación polar a la forma rectangular.
b) Utilizar una graficadora para trazar el modelo con a 4 y
a 6.
c) Hallar el área de la región geográfica que se encuentra entre
las dos curvas del apartado b).
42. Área El área en el interior de una o más de las tres circunferencias
entrelazadas
está dividida en siete regiones. Hallar el área de cada región.
43. Conjetura Hallar el área de la región limitada por
para n 1, 2, 3, . . . . Con base en los resultados formular una
conjetura acerca del área limitada por la función cuando n es par
y cuando n es impar.
44. Área Dibujar la estrofoide
Transformar estas ecuaciones a coordenadas rectangulares (o
cartesianas). Encontrar el área comprendida en el lazo.
En los ejercicios 45 a 48, hallar la longitud de la curva sobre el
intervalo indicado.
Ecuación polar Intervalo
45. r a
0 ≤ ≤ 2
46.
r a cos 2 .
r 2a cos ,
r a cosn
r sec 2 cos ,
r 2a cos
47. r 1 sin sen
48. r 81 cos
r 2a sin sen,
y
r a
< <
2 2 .
≤ ≤
2 2
0 ≤ ≤ 2
0 ≤ ≤ 2
En los ejercicios 49 a 54, utilizar una graficadora para representar
la ecuación polar sobre el intervalo dado. Emplear las
funciones de integración de una graficadora para estimar la
longitud de la curva con una precisión de dos decimales.
49. 50.
51. 52. r e 0 ≤ ≤
r ,
1
0 ≤ ≤
0 ≤ ≤ r sec ,
3
r 2,
2
,
≤ ≤ 2
53. r sen sin3 cos , 0 ≤ ≤
54. r 2 sen sin2 cos , 0 ≤ ≤
En los ejercicios 55 a 58, encontrar el área de la superficie generada
por revolución de la curva en torno a la recta dada.
Ecuación polar Intervalo Eje de revolución
55. Eje polar
56.
57.
0 ≤ ≤
2
58. r a1 cos 0 ≤ ≤ Eje polar
r e
2
a
0 ≤ ≤
2
0 ≤ ≤
r a cos
2
r 6 cos
2
En los ejercicios 59 y 60, usar las funciones de integración de
una graficadora para estimar, con una precisión de dos cifras
decimales, el área de la superficie generada por revolución de la
curva alrededor del eje polar.
59. 0 ≤ ≤ 60. r , 0 ≤ ≤
r 4 cos 2,
4
Desarrollo de conceptos
61. Dar las fórmulas de integración para área y longitud de arco
en coordenadas polares.
62. Explicar por qué para encontrar puntos de intersección de
gráficas polares es necesario efectuar un análisis además de
resolver dos ecuaciones en forma simultánea.
63. ¿Cuál de las integrales da la longitud de arco de r 3(1 –
cos 2 )? Decir por qué las otras integrales son incorrectas.
a)
b)
c)
d)
3
0
4
120
30
6
0
2
1 cos 22 4 sin2 sen 2 d
2
1 cos 22 4 sin2 sen 2 d
1 cos 22 4 sin2 sen 2 d
1 cos 22 4 sin2 sen 2 d
64. Dar las fórmulas de las integrales para el área de una superficie
de revolución generada por la gráfica de r f
alrededor a) del eje x y b) del eje y.