CapítuloMuestra.pdf (6378.0K)

SP Solución de problemas
1. Considerar la parábola y la cuerda focal
a) Dibujar la gráfica de la parábola y la cuerda focal.
b) Mostrar que las rectas tangentes a la parábola en los extremos
de la cuerda focal se cortan en ángulo recto.
c) Mostrar que las rectas tangentes a la parábola en los extremos
de la cuerda focal se cortan en la directriz de la parábola.
2. Considerar la parábola x y una de sus cuerdas focales.
a) Mostrar que las rectas tangentes a la parábola en los extremos
de la cuerda focal se cortan en ángulos rectos.
b) Mostrar que las rectas tangentes a la parábola en los extremos
de la cuerda focal se cortan en la directriz de la parábola.
3. Demostrar el teorema 10.2, la propiedad de reflexión de una
parábola, como se ilustra en la figura.
2 y
4py
3
x 4x 1.
2 4y
4. Considerar la hipérbola
x 2
a
2 y2
con focos F1 y F2 , como se ilustra en la figura. Sea T la recta
tangente en un punto M de la hipérbola. Mostrar que los rayos
de luz incidente en un foco son reflejados por un espejo hiperbólico
hacia el otro foco.
F 1
b2 1
b
y
F
y
T a
M
F 2
P
Figura para 4 Figura para 5
x
a c
5. Considerar un círculo con radio a tangente al eje y-y
a la recta
x 2a, como se ilustra en la figura. Sea A el punto en el cual el
segmento OB corta el círculo. La cisoide de Diocles consiste de
todos los puntos P tales que OP AB.
a) Hallar una ecuación polar de la cisoide.
b) Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas para la
cisoide que no contengan funciones trigonométricas.
c) Hallar la ecuación rectangular de la cisoide.
x
O
y
A
θ
P
B
x
Solución de problemas 759
6. Considerar la región limitada por la elipse
con excentricidad
a) Mostrar que el área de la región es
b) Mostrar que el volumen del sólido (esferoide oblato) generado
por revolución de la región en torno al eje menor de la
elipse es V 4 y el área de la superficie es
2 x
e ca.
ab.
b3
2a2 y2b2 1,
c) Comprobar que el volumen del sólido (esferoide prolato)
generado por revolución de la región alrededor del eje mayor
de la elipse es V 4ab y el área de la superficie es
23 7. La curva descrita por las ecuaciones paramétricas
1 t2
xt y
1 t
se denomina estrofoide.
a) Hallar una ecuación rectangular de la estrofoide.
b) Hallar una ecuación polar de la estrofoide.
c) Trazar una gráfica de la estrofoide.
d) Hallar la ecuación de las dos rectas tangentes en el origen.
e) Hallar los puntos de la gráfica en los que las rectas tangentes
son horizontales.
8. Hallar una ecuación rectangular para la porción de la cicloide
dada por las ecuaciones paramétricas x a( sen ) y y
a(1 cos ), 0 ≤ ≤ , como se muestra en la figura.
2
2a
O
y
S 2a2 b2 1 e
e ln1 e .
S 2b 2 2 ab
e
aπ
9. Considerar la espiral cornu dado por
t
y yt sin
0
a) Usar una graficadora para representar la espiral en el intervalo
b) Mostrar que la espiral cornu es simétrica respecto al origen.
c) Hallar la longitud de la espiral cornu desde t 0 hasta t a.
¿Cuál es la longitud de la espiral desde t hasta
t ?
u2
2 du.
t
xt cos
0
u2
2 du
sen
≤ t ≤ .
arcsin arcsen e.
yt t1 t2
1 t 2
x
sen