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En los ejercicios 31 a 34, hallar una representación paramétrica
de la recta o cónica.
31. Recta: pasa por 2, 6 y 3, 2
32. Circunferencia: centro en (5, 3); radio 2
33. Elipse: centro en 3, 4; longitud del eje mayor horizontal 8 y
longitud del eje menor 6
34. Hipérbola: vértice en 0, ±4; foco en 0, ±5
35. Motor rotatorio El motor rotatorio fue inventado por Felix
Wankel en la década de los cincuenta. Contiene un rotor que es
un triángulo equilátero modificado. El rotor se mueve en una
cámara que, en dos dimensiones, es un epitrocoide. Usar una
graficadora para trazar la cámara que describen las ecuaciones
paramétricas.
x cos 3 5 cos
y
y sen sin 3 5 sen sin .
36. Curva serpentina Considerar las ecuaciones paramétricas
y
a) Usar una graficadora para trazar la curva.
b) Eliminar el parámetro para mostrar que la ecuación rectangular
de la curva serpentina es 4 x2 x 2 cot y sen4 sin cos , 0 < < .
y 8x.
En los ejercicios 37 a 46, a) hallar dy/dx y los puntos de tangencia
horizontal, b) eliminar el parámetro cuando sea posible y c)
trazar la curva representada por las ecuaciones paramétricas.
37.
38. x t 4, y t2 x 1 4t, y 2 3t
39.
40.
41. x 42. x 2t 1
1
x
2t 1
1
x
, y t2
t 1
, y 2t 3
t
y
1
t 2 2t
43. x 3 2 cos
44. x 6 cos
y 2 5 sen sin
y 6 sin sen
45. 46.
x cos 3
y 4 sin 3
sen
En los ejercicios 47 a 50, hallar todos los puntos (si los hay) de
tangencia horizontal y vertical a la curva. Usar una graficadora
para confirmar los resultados.
47.
48.
y t
49. x 2 2 sin , y 1 cos
50. x 2 2 cos , y 2 sin 2
3 y t
x t 2, 2t
2
x 4 t,
sen
sen
y
x e t
y e t
1
t 2 2t
Ejercicios de repaso 757
En los ejercicios 51 y 52, a) usar una graficadora para trazar la
curva representada por las ecuaciones paramétricas, b) usar
una graficadora para hallar dx/d, dy/d, y dy/dx para
y c) usar una graficadora para trazar la recta tangente a la
curva cuando
51. x cot
52. x 2 sen sin
Longitud de arco En los ejercicios 53 y 54, hallar la longitud de
arco de la curva en el intervalo que se indica.
53. x rcos sen sin 54. x 6 cos
Área de una superficie En los ejercicios 55 y 56, hallar el área
de la superficie generada por revolución de la curva en torno a)
al eje x, y b) al eje y.
55.
56.
0 ≤ ≤
Área En los ejercicios 57 y 58, hallar el área de la región.
x t, y 3t, 0 ≤ t ≤ 2
x 2 cos , y 2 sen sin ,
2
57. x 3 sen sin
58. x 2 cos
En los ejercicios 59 a 62, representar gráficamente el punto en
coordenadas polares y hallar las coordenadas rectangulares
correspondientes al punto.
59.
60.
y sen sin 2
y rsin sen cos y 6 sen sin
0 ≤ ≤
y 2 cos
≤ ≤
2 2
−3 −2 −1
−1
−2
1 2 3
3, 2
4
3
1
11
4, 6
61. 3, 1.56
62. 2, 2.45
/6.
y
x
y 2 cos
0 ≤ ≤
y sin sen
0 ≤ ≤
−3 −2 −1
−1
−2
−3
1 2 3
En los ejercicios 63 y 64, se dan las coordenadas rectangulares
de un punto. Representar gráficamente el punto y hallar dos
pares de coordenadas polares del punto para 0 ≤ < 2.
63. 4, 4
64. 1, 3
3
2
y
/6,
x