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65. Área de la superficie de un toro Hallar el área de la superficie
del toro generado por revolución de la circunferencia dada
por r 2 alrededor de la recta r 5 sec .
66. Área de la superficie de un toro Hallar el área de la superficie
del toro generado por revolución de la circunferencia dada
por r a en torno a la recta r b sec , donde 0 < a < b.
67. Aproximación de un área Dado el círculo r 8 cos .
a) Hallar el área de la circunferencia.
b) Completar la tabla dando las áreas A de los sectores circulares
entre y los valores de dados en la tabla.
A
c) Emplear la tabla del apartado b) para aproximar los valores
de para los cuales el sector circular forma y del área
total de la circunferencia.
d) Usar una graficadora para aproximar, con una precisión de
dos cifras decimales, los ángulos para los cuales el sector
1 1 3
circular forma 4 , 2 y 4 del área total de la circunferencia.
e) ¿Dependen los resultados del apartado d) del radio del círculo?
Explicar la respuesta.
68. Área aproximada Dado el círculo r 3 sin .
a) Hallar el área de la circunferencia correspondiente.
b) Completar la tabla dando las áreas A de los sectores circulares
comprendidos entre y los valores de dados en
la tabla.
,
1 3
4, 4
1
2,
sen
A
c) Utilizar la tabla del apartado b) para aproximar los valores
de para los cuales el sector circular representa y del
área total de la circunferencia.
d ) Usar una graficadora para aproximar, con una precisión de
dos cifras decimales, los ángulos para los que el sector
1 1
circular representa 4 y 2 del área total del círculo.
69. ¿Qué sección cónica representa la siguiente ecuación polar?
,
1
8 ,
1 1
4 2 ,
1
8 ,
r a sin sen
b cos
70. Área Hallar el área del círculo dado por r sen
sin cos .
Comprobar el resultado transformando la ecuación polar a la
forma rectangular y usando después la fórmula para el área del
círculo.
71. Espiral de Arquímedes La curva representada por la ecuación
r a, donde a es una constante, se llama espiral de Arquímedes.
a) Emplear una graficadora para trazar la gráfica de r ,
donde ¿Qué ocurre con la gráfica de r a a medida
que a aumenta? ¿Qué pasa si
b) Determinar los puntos de la espiral r a a > 0, ≥ 0,
en los que la curva cruza el eje polar.
≥ 0.
0
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4
0
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4
≤ 0?
SECCIÓN 10.5 Área y longitud de arco en coordenadas polares 747
c) Hallar la longitud de sobre el intervalo
d) Hallar el área bajo la curva para
72. Espiral logarítmica La curva descrita por la ecuación
donde a y b son constantes, se denomina espiral logarítmica.
La figura siguiente muestra la gráfica de r e
Hallar el área de la zona sombreada.
6 r ae
,
b r
0 ≤ ≤ 2.
r 0 ≤ ≤ 2.
,
2 ≤ ≤ 2.
π
2
73. La mayor de las circunferencias mostradas en la figura siguiente
es la gráfica de r 1. Hallar la ecuación polar para la
circunferencia menor de manera que las áreas sombreadas sean
iguales.
π
2
1 2 3
74. Hoja (o folio) de Descartes Una curva llamada hoja (o folio)
de Descartes puede representarse por medio de las ecuaciones
paramétricas
y y
a) Convertir las ecuaciones paramétricas a la forma polar.
b) Dibujar la gráfica de la ecuación polar del apartado a).
c) Emplear una calculadora para aproximar el área comprendida
en el lazo de la curva.
3t2
1 t3. 3t
x
1 t3 Verdadero o falso En los ejercicios 75 y 76, determinar si la
afirmación es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué o
dar un ejemplo que demuestre que es falsa.
75. Si f > 0 para todo y g < 0 para todo , entonces las
gráficas de r f y r g no se cortan.
76. Si f g para y 32, entonces las gráficas
de r f y r g tienen cuando menos cuatro puntos de
intersección.
77. Usar la fórmula para la longitud de arco de una curva en forma
paramétrica para obtener la fórmula de la longitud de arco de
una curva polar.
0
0
0, 2,