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PARA MAYOR INFORMACIÓN Para
más información sobre el uso de la tecnología
para encontrar puntos de intersección,
consultar el artículo “Finding
Points of Intersection of Polar-
Coordinate Graphs” de Warren W. Esty
en Mathematics Teacher.
SECCIÓN 10.5 Área y longitud de arco en coordenadas polares 741
Puntos de intersección de gráficas polares
Debido a que un punto en coordenadas polares se puede representar de diferentes
maneras, tener cuidado al determinar los puntos de intersección de dos gráficas. Por
ejemplo, considérense los puntos de intersección de las gráficas de
y
mostradas en la figura 10.53. Si, como se hace con ecuaciones rectangulares, se trata
de hallar los puntos de intersección resolviendo las dos ecuaciones en forma simultánea,
se obtiene
Primera ecuación.
Sustitución de de la segunda ecuación en la primera ecuación.
Simplificación.
3
, Despejar .
2 2
Los puntos de intersección correspondientes son 1, 2 y 1, 32. Sin embargo,
en la figura 10.53 se ve que hay un tercer punto de intersección que no apareció al
resolver simultáneamente las dos ecuaciones polares. (Ésta es una de las razones por
las que es necesario trazar una gráfica cuando se busca el área de una región polar.)
La razón por la que el tercer punto no se encontró es que no aparece con las mismas
coordenadas en ambas gráficas. En la gráfica de r 1, el punto se encuentra en las
coordenadas 1, , mientras que en la gráfica de r 1 2 cos , el punto se
encuentra en las coordenadas 1, 0.
El problema de hallar los puntos de intersección de dos gráficas polares se puede
comparar con el problema de encontrar puntos de colisión de dos satélites cuyas
órbitas alrededor de la Tierra se cortan, como se ilustra en la figura 10.54. Los satélites
no colisionan mientras lleguen a los puntos de intersección a momentos diferentes
(valores de ). Las colisiones sólo ocurren en los puntos de intersección que sean
“puntos simultáneos”, puntos a los que llegan al mismo tiempo (valor de ).
.
r 1 2 cos r 1
r 1 2 cos
1 1 2 cos
r 1
cos 0
NOTA Puesto que el polo puede representarse mediante 0, , donde es cualquier ángulo,
el polo debe verificarse por separado cuando se buscan puntos de intersección.
Caracol: r = 1 − 2 cos θ
π
2
Círculo:
r = 1
1
0
Tres puntos de intersección: 1, 2, Las trayectorias de los satélites pueden cruzarse sin
1, 0, 1, 3 2
causar colisiones.
Figura 10.53
Figura 10.54