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x = 2t − πsen
t
y = 2 − π cos t
−π
6
4
2
−2
y Recta tangente (t = π/2)
(0, 2)
Recta tangente (t = − π /2)
Esta cicloide alargada tiene dos rectas tangentes
en el punto (0, 2)
Figura 10.32
π
x
SECCIÓN 10.3 Ecuaciones paramétricas y cálculo 721
EJEMPLO 3 Una curva con dos rectas tangentes en un punto
La cicloide alargada dada por
x 2t sen sin t y y 2 cos t
se corta a sí misma en el punto (0, 2), como se ilustra en la figura 10.32. Hallar las
ecuaciones de las dos rectas tangentes en este punto.
Solución Como x 0 y y 2 cuando t ±2, y
dy dydt
dx dxdt
se tiene dydx 2 cuando t 2 y dydx 2 cuando t 2. Por
tanto, las dos rectas tangentes en (0, 2) son
y 2
2 x
y 2
2 x.
Recta tangente cuando t .
2
Recta tangente cuando t .
2
Si dydt 0 y dxdt 0 cuando t t0 , la curva representada por x f t y
y gt tiene una tangente horizontal en f t0, gt0. Así, en el ejemplo 3, la curva
dada tiene una tangente horizontal en el punto 0, 2 (cuando t 0). De manera
semejante, si dxdt 0 y dydt 0 cuando t t0 , la curva representada por
x f t y y gt tiene una tangente vertical en f t0, gt0. Longitud de arco
Se ha visto cómo pueden emplearse las ecuaciones paramétricas para describir la trayectoria
de una partícula que se mueve en el plano. Ahora se desarrollará una fórmula para
determinar la distancia recorrida por una partícula a lo largo de su trayectoria.
Recuérdese de la sección 7.4, que la fórmula para hallar la longitud de arco de
una curva C dada por y hx en el intervalo x0 , x1 es
x1 s 1 hx
x0 2 dx
x 0
x 1
sen
sin t
2 cos t
1 dy
dx 2
dx.
Si C está representada por las ecuaciones paramétricas x f t y y gt, a ≤ t ≤ b,
y si dxdt ft > 0, se puede escribir
x1 s x0 1 dy
dx 2
x1 dx x0 a
a
a
b
b
b
1 dydt
dxdt 2
dx
dxdt2 dydt2 dx
dxdt2 dt dt
dx
dt 2
dy
dt 2
dt
ft 2 gt 2 dt.