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PARA MAYOR INFORMACIÓN Para
más información acerca de algunos usos
de las propiedades de reflexión de las
cónicas, consultar el artículo “Parabolic
Mirrors, Elliptic and Hyperbolic Lenses”
de Mohsen Maesumi en The American
Mathematical Monthly. Consultar también
el artículo “The Geometry of
Microwave Antennas” de William R.
Paezynski en Mathematics Teacher.
c
a) es pequeño
a
Focos
c
Focos
b) es casi 1
c
Excentricidad es el cociente
a
Figura 10.12
.
c
a
a
c
a
SECCIÓN 10.1 Cónicas y cálculo 699
En el teorema 10.2 se presentó la propiedad de reflexión de la parábola. La elipse
tiene una propiedad semejante. En el ejercicio 110 se pide demostrar el siguiente teorema.
TEOREMA 10.4 Propiedad de reflexión de la elipse
Sea P un punto de una elipse. La recta tangente a la elipse en el punto P forma
ángulos iguales con las rectas que pasan por P y por los focos.
Uno de los motivos por el cual los astrónomos tuvieron dificultad para descubrir
que las órbitas de los planetas son elípticas es el hecho de que los focos de las órbitas
planetarias están relativamente cerca del centro del Sol, lo que hace a las órbitas ser
casi circulares. Para medir el “aplastamiento” de una elipse, se puede usar el concepto
de excentricidad.
Definición de la excentricidad de una elipse
La excentricidad e de una elipse está dada por el cociente
Para ver cómo se usa este cociente en la descripción de la forma de una elipse,
obsérvese que como los focos de una elipse se localizan a lo largo del eje mayor entre
los vértices y el centro, se tiene que
0 < c < a.
En una elipse casi circular, los focos se encuentran cerca del centro y el cociente c/a
es pequeño, mientras que en una elipse alargada, los focos se encuentran cerca de los
vértices y el cociente es casi 1, como se ilustra en la figura 10.12. Obsérvese que para
toda elipse 0 < e < 1.
La excentricidad de la órbita de la Luna es e 0.0549, y las excentricidades de
las nueve órbitas planetarias son las siguientes.
Mercurio: e 0.2056 Saturno: e 0.0542
Venus: e 0.0068 Urano: e 0.0472
Tierra: e 0.0167 Neptuno: e 0.0086
Marte: e 0.0934 Plutón: e 0.2488
Júpiter: e 0.0484
Por integración se puede mostrar que el área de una elipse es A ab. Por ejemplo,
el área de la elipse
x 2
a
e c
a .
2 y2
está dada por
a
A 40
b
a a2 x2 dx
4b
2 1
b
a 0
2
a2 cos2 d.
Sustitución trigonométrica x a sen θ.
Sin embargo, encontrar el perímetro de una elipse no es fácil. El siguiente ejemplo
muestra cómo usar la excentricidad para establecer una “integral elíptica” para el
perímetro de una elipse.