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π
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JOHANNES KEPLER (1571-1630)
Kepler formuló sus tres leyes a partir de la
extensa recopilación de datos del astrónomo
danés Tycho Brahe, así como de la observación
directa de la órbita de Marte.
Figura 10.63
Sol
π
2
3π
2
Tierra
Cometa
Halley
0
SECCIÓN 10.6 Ecuaciones polares de las cónicas y leyes de Kepler 751
Leyes de Kepler
Las leyes de Kepler, las cuales deben su nombre al astrónomo alemán Johannes
Kepler, se emplean para describir las órbitas de los planetas alrededor del Sol.
1. Todo planeta se mueve en una órbita elíptica alrededor del Sol.
2. Un rayo que va del Sol al planeta barre áreas iguales de la elipse en tiempos
iguales.
3. El cuadrado del periodo es proporcional al cubo de la distancia media entre el planeta
y el Sol.*
Aun cuando Kepler dedujo estas leyes de manera empírica, más tarde fueron confirmadas
por Newton. De hecho, Newton demostró que todas las leyes puede deducirse
de un conjunto de leyes universales del movimiento y la gravitación que gobiernan los
movimientos de todos los cuerpos celestes, incluyendo cometas y satélites. Esto se
muestra en el ejemplo siguiente con el cometa que debe su nombre al matemático
inglés Edmund Halley (1656-1742).
EJEMPLO 3 Cometa Halley
El cometa Halley tiene una órbita elíptica con el Sol en uno de sus focos y una excentricidad,
e 0.967. La longitud del eje mayor de la órbita es 35.88 unidades astronómicas,
aproximadamente. (Una unidad astronómica se define como la distancia media
entre la Tierra y el Sol, 93 millones de millas.) Hallar una ecuación polar de la órbita.
¿Qué tan cerca llega a pasar el cometa Halley del Sol?
Solución Utilizando un eje vertical, se puede elegir una ecuación de la forma
ed
r
1 e sin .
sen
Como los vértices de la elipse se encuentran en y la longitud del
eje mayor es la suma de los valores r en los vértices, como se observa en la figura
10.63. Es decir,
2a 0.967d 0.967d
1 0.967 1 0.967
35.88 27.79d.
Por tanto, d 1.204
ecuación se obtiene
y ed 0.9671.204 1.164. Usando este valor en la
1.164
r
1 0.967 sen sin
donde r se mide en unidades astronómicas. Para hallar el punto más cercano al Sol (el
foco), se escribe c ea 0.96717.94 17.35. Puesto que c es la distancia entre
el foco y el centro, el punto más cercano es
a c 17.94 17.35
0.59 AU UA
55,000,000 millas
2
2a 35.88
32,
* Si se usa como referencia a la Tierra cuyo periodo es 1 año y cuya distancia media es 1
unidad astronómica, la constante de proporcionalidad es 1. Por ejemplo, como la distancia
media de Marte al Sol es 1.524 UA, su periodo está dado por D Por tanto, el
periodo de Marte es P 1.88.
3 P2 D
P
.