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738 CAPÍTULO 10 Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares 103. Verificar que si la curva correspondiente a la ecuación polar r f gira en un ángulo , alrededor del polo, entonces la curva es una ecuación r f . 104. La forma polar de una ecuación de una curva es r f sin sen. Comprobar que la forma se convierte en a) r f cos si la curva gira 2 radianes alrededor del polo en sentido contrario a las manecillas del reloj. b) r f sin sen si la curva gira radianes alrededor del polo en sentido contrario a las manecillas del reloj. c) r f cos si la curva gira 32 radianes alrededor del polo en sentido contrario a las manecillas del reloj. En los ejercicios 105 a 108, usar los resultados de los ejercicios 103 y 104. 105. Dar una ecuación de caracol r 2 sen sin después de girar la cantidad indicada. Utilizar una graficadora para representar el giro del caracol. a) b) c) d) 4 2 2 106. Dar una ecuación para la curva rosa r 2 sen sin 2 después de girar la cantidad dada. Verificar los resultados usando una graficadora para representar el giro de la curva rosa. a) 6 b) 2 c) 3 d) 107. Dibujar la gráfica de cada ecuación. a) r 1 sin sen b) r 1 sen sin 4 108. Demostrar que la tangente del ángulo entre la recta radial y la recta tangente en el punto r, en la gráfica de r f (ver la figura) está dada por tan En los ejercicios 109 a 114, usar los resultados del ejercicio 108 para hallar el ángulo entre las rectas radial y tangente a la gráfica en el valor indicado de . Usar una graficadora para representar la ecuación polar, de la recta radial y de la recta tangente en el valor indicado de . Identificar el ángulo . Ecuación polar Valor de 109. r 21 cos 110. r 31 cos 111. r 2 cos 3 112. r 4 sin sen2 113. 114. rdrd. π 2 Curva polar: r = f( θ) O r r 5 θ 6 1 cos A P = (r, θ) ψ 2 3 Recta tangente Recta radial 0 Eje polar 34 4 6 23 6 0 ≤ ≤ 2 ¿Verdadero o falso? En los ejercicios 115 a 118, determinar si la afirmación es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué o dar un ejemplo que muestre que es falsa. 115. Si y representan el mismo punto en el sistema de coordenadas polares, entonces 116. Si y representan el mismo punto en el sistema de coordenadas polares, entonces para algún entero 117. Si entonces el punto en el sistema de coordenadas rectangulares (o cartesianas) puede representarse mediante en el sistema de coordenadas polares, donde r x y 118. Las ecuaciones polares r sen 2 y r sen 2 tienen la misma gráfica. 2 y 2 r1, 1 r2, 2 r1 r2. r, 1 r, 2 n. x > 0, x, y r, arctanyx. 1 2 2n Proyecto de trabajo: Arte anamórfico Usar las siguientes transformaciones anamórficas r y 16 y 8 x, 3 3 ≤ ≤ 4 4 para dibujar la imagen polar transformada de la gráfica rectangular. Cuando se observa la reflexión (en un espejo cilíndrico centrado en el polo) de una imagen polar desde el eje polar, el espectador ve la imagen rectangular original. a) b) c) d) x2 y 52 52 y 3 x 2 y x 5 Museum of Science and Industry en Manchester, Inglaterra Este ejemplo de arte anamórfico es del Museo de Ciencia e Industria de Manchester, Inglaterra. Cuando la reflexión de la “pintura polar” transformada se ve en el espejo, el observador ve rostros. PARA MAYOR INFORMACIÓN Para más información sobre arte anamórfico, consultar al artículo “Anamorphisms” de Philip Hickin en Mathematical Gazette.
θ SECCIÓN 10.5 Área y longitud de arco en coordenadas polares 739 Sección 10.5 Área y longitud de arco en coordenadas polares r El área de un sector circular es Figura 10.49 a) π 2 π 2 β β b) Figura 10.50 θ n − 1 A 1 2r 2 . r = f( θ) r = f( θ) θ 2 θ α 1 α 0 0 • Hallar el área de una región limitada por una gráfica polar. • Hallar los puntos de intersección de dos gráficas polares. • Hallar la longitud de arco de una gráfica polar. • Hallar el área de una superficie de revolución (forma polar). Área de una región polar El desarrollo de una fórmula para el área de una región polar se asemeja al del área de una región en el sistema de coordenadas rectangulares (o cartesianas), pero en lugar de rectángulos se usa como elemento básico del área sectores circulares. En la figura 1 10.49, obsérvese que el área de un sector circular de radio r está dada por 2r siempre que esté dado en radianes. Considérese la función dada por r f, donde f es continua y no negativa en el intervalo dado por La región limitada por la gráfica de f y las rectas radiales y se muestra en la figura 10.50a). Para encontrar el área de esta región, se hace una partición del intervalo , en n subintervalos iguales 2 , 0 < 1 < 2 < . . . < n1 < n . A continuación, se aproxima el área de la región por medio de la suma de las áreas de los n sectores, como se muestra en la figura 10.50b). Radio Radius del i-ésimo of ith sector fi Ángulo Central central angle del i-ésimo of ith sector Tomando el límite cuando n → se obtiene 1 A lim n→ 2 1 2 n lím ≤ ≤ . fi i1 2 f 2 d A n i1 lo cual conduce al teorema siguiente. n 1 2 f i 2 TEOREMA 10.13 Área en coordenadas polares Si es continua y no negativa en el intervalo entonces el área de la región limitada (o acotada) por la gráfica de entre las rectas radiales y está dada por 0 < ≤ 2. 1 2 r2 A d. 1 2 f2 f , , 0 < ≤ 2, r f d NOTA La misma fórmula se puede usar para hallar el área de una región limitada por la gráfica de una función continua no positiva. Sin embargo, la fórmula no es necesariamente válida si f toma valores tanto positivos como negativos en el intervalo , .
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