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98. Órbita de la Tierra La Tierra se mueve en una órbita elíptica
con el Sol en uno de los focos. La longitud de la mitad del
eje mayor es 149 598 000 kilómetros y la excentricidad es
0.0167. Hallar la distancia mínima (perihelio) y la distancia
máxima (afelio) entre la Tierra y el Sol.
99. Órbita de un satélite El apogeo (el punto de la órbita más lejano
a la Tierra) y el perigeo (el punto de la órbita más cercano
a la Tierra) de la órbita elíptica de un satélite de la Tierra están
dados por A y P. Mostrar que la excentricidad de la órbita es
e
100. Explorer 18 El 27 de noviembre de 1963, Estados Unidos
lanzó el Explorer 18. Sus puntos bajo y alto sobre la superficie
de la Tierra fueron 119 millas y 123 000 millas, respectivamente.
Hallar la excentricidad de su órbita elíptica.
101. El cometa Halley Quizá el más conocido de todos los
cometas, el cometa Halley, tiene una órbita elíptica con el Sol
en uno de sus focos. Se estima que su distancia máxima al Sol
es de 35.29 UA (unidad astronómica millas)
y que su distancia mínima es de 0.59 UA. Hallar la excentricidad
de la órbita.
102. La ecuación de una elipse con centro en el origen puede expresarse
x2 a2
A P
A P .
y 2
a21 e2 1.
Mostrar que cuando e → 0, y a permanece constante, la
elipse se aproxima a una circunferencia.
103. Considerar una partícula que se mueve en el sentido de las
manecillas del reloj siguiendo la trayectoria elíptica
x2 y2
1.
100 25
La partícula abandona la órbita en el punto 8, 3 y viaja a
lo largo de una recta tangente a la elipse. ¿En qué punto cruzará
la partícula el eje y?
104. Volumen El tanque de agua de un carro de bomberos mide
16 pies de largo, y sus secciones transversales son elipses.
Hallar el volumen de agua que hay en el tanque cuando está
parcialmente lleno como se muestra en la figura.
9 pies
3 pies
En los ejercicios 105 y 106, determinar los puntos en los que
dy/dx es cero, o no existe, para localizar los extremos de los ejes
mayor y menor de la elipse.
105.
106. 9x2 4y 2 16x
36x 24y 36 0
2 9y 2 96x 36y 36 0
92.956 10 6
5 pies
SECCIÓN 10.1 Cónicas y cálculo 707
Área y volumen En los ejercicios 107 y 108, hallar a) el área de
la región limitada por la elipse, b) el volumen y el área de la
superficie del sólido generado por revolución de la región
alrededor de su eje mayor (esferoide prolato), y c) el volumen y
el área de la superficie del sólido generado por revolución de la
región alrededor de su eje menor (esferoide oblato).
x 2
107.
x
108.
109. Longitud de arco Usar las funciones de integración de una
graficadora para aproximar, con una precisión de dos cifras
decimales, la integral elíptica que representa el perímetro de la
elipse
2
2 y
1
4 1
y 2
1
16 9
x 2
2 y
1.
25 49
110. Demostrar que la recta tangente a una elipse en un punto P
forma ángulos iguales con las rectas a través de P y de los
focos (ver la figura). [Ayuda: 1) encontrar la pendiente de la
recta tangente en P, 2) encontrar las tangentes de las rectas a
través de P y cada uno de los focos y 3) usar la fórmula de la
tangente del ángulo entre dos rectas.]
x2 y2 a2 b2 + = 1
Recta
tangente
P = (x0 , y0 )
β
α
(−c, 0) (c, 0)
y
Figura para 110 Figura para 111
111. Geometría El área de la elipse presentada en la figura es el
doble del área del círculo. ¿Qué longitud tiene el eje mayor?
112. Conjetura
a) Mostrar que la ecuación de una elipse puede expresarse
como
x h2 y k2
2 a a21 e2 1.
b) Mediante una graficadora, representar la elipse
x 2 2
4
x
y 32
41 e2 1
(−a, 0)
(0, 10)
(0, −10)
(a, 0)
x
para e 0.95, e 0.75, e 0.5, e 0.25, y e 0.
c) Usar los resultados del apartado b) para hacer una conjetura
acerca de la variación en la forma de la elipse a medida
que e se aproxima a 0.
113. Hallar una ecuación de la hipérbola tal que, para todo punto,
la diferencia entre sus distancias a los puntos (2, 2) y (10, 2)
sea 6.
114. Hallar una ecuación de la hipérbola tal que, para todo punto,
la diferencia entre sus distancias a los puntos (3, 0) y
(3, 3) sea 2.
y