CapítuloMuestra.pdf (6378.0K)

760 CAPÍTULO 10 Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
10. Una partícula se mueve a lo largo de la trayectoria descrita
por las ecuaciones paramétricas x 1t y y sen sin tt, con
1 ≤ t < , como se muestra en la figura. Hallar la longitud de
esta trayectoria.
y
11. Sean y constantes positivas. Hallar el área de la región del
primer cuadrante limitada por la gráfica de la ecuación polar
12. Considerar el triángulo rectángulo que se muestra la figura.
a) Mostrar que el área del triángulo es
b) Mostrar que tan sec
0
c) Usar el apartado b) para deducir la fórmula para la derivativa
de la función tangente.
2 A
d.
1
sec 20
2 0 ≤ ≤
d.
2 .
ab
r
a sin b cos ,
a b
sen
α
1
−1
1
Figura para 12 Figura para 13
13. Determinar la ecuación polar del conjunto de todos los puntos
r, ,
el producto de cuyas distancias desde los puntos 1, 0 y
1, 0 es igual a 1, como se observa en la figura.
14. Cuatro perros se encuentran en las esquinas de un cuadrado con
lados de longitud d. Todos los perros se mueven en sentido contrario
al de las manecillas del reloj a la misma velocidad y en
dirección al siguiente perro, como se muestra en la figura.
Hallar la ecuación polar de la trayectoria de un perro a medida
que se acerca en espiral hacia el centro del cuadrado.
d
d d
d
1
1
(−1, 0) (1, 0)
−1 1
−1
y
x
x
15. Un controlador de tráfico aéreo ubica a la misma altitud dos
aviones que vuelan uno hacia el otro (ver la figura). Sus trayectorias
de vuelo son 20° y 315° con una velocidad de 375 millas
por hora. El otro se encuentra a 190 millas del punto P con una
velocidad de 450 millas por hora.
190 millas
a) Hallar ecuaciones paramétricas para la trayectoria de cada
avión donde t es tiempo en horas, y t 0 correspondiendo
al instante en que el controlador de tráfico aéreo localiza a
los aviones.
b) Emplear el resultado del apartado a) para expresar la distancia
entre los aviones como función de t.
c) Usar una graficadora para representar la función del apartado
b). ¿Cuándo será mínima la distancia entre los aviones?
Si los aviones deben conservar una distancia entre ellos de
por lo menos tres millas, ¿se satisface este requerimiento?
16. Usar una graficadora para trazar la curva que se muestra abajo.
La curva está dada por
r e cos 2 cos 4 sin
y
20°
150 millas
45°
P
5 sen5 ¿Sobre qué intervalo debe variar para generar la curva?
PARA MAYOR INFORMACIÓN Para más información sobre
esta curva, consultar el artículo “A Study in Step Size” de Temple
H. Fay en Mathematics Magazine.
17. Usar una graficadora para representar la ecuación polar
r cos 5 n cos , para 0 ≤ < y para los enteros desde
n 5 hasta n 5. ¿Qué valores de n producen la porción de la
curva en forma de corazón? ¿Qué valores de n producen la porción
de la curva en forma de campana? (Esta curva, creada por Michael
W. Chamberlin, fue publicada en The College Mathematics
Journal.)
12 .
x