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750 CAPÍTULO 10 Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
x = − 15
2
Directriz
π
2
15
r = 3 − 2 cosθ
(3, π ) (15, 0)
5 10
La gráfica de la cónica es una elipse con
e
Figura 10.61
2
3 .
Directriz
32
y =
5
( −16,
(
4, π
2
3π
2
)
)
π
2
4 8
r = 32
3 + 5 sen θ
a = 6
b = 8
La gráfica de la cónica es una hipérbola con
e
Figura 10.62
5
3 .
0
0
EJEMPLO 1 Determinar una cónica a partir de su ecuación
15
Dibujar la gráfica de la cónica descrita por r
3 2 cos .
Solución Para determinar el tipo de cónica, reescribir la ecuación como sigue
r
15
3 2 cos
5
1 23 cos .
Escribir la ecuación original.
Por tanto, la gráfica es una elipse con e Se traza la mitad superior de la elipse
localizando gráficamente los puntos desde hasta como se muestra en la
figura 10.61. Luego, empleando la simetría respecto al eje polar se traza la mitad inferior
de la elipse.
2
3 .
En la elipse en la figura 10.61, el eje mayor es horizontal y los vértices se encuentran
en (15, 0) y Por tanto, la longitud del eje mayor es Para encontrar
la longitud del eje menor, se usan las ecuaciones y b para
concluir que
2 a2 c2 3, .
2a 18.
e ca
Como e se tiene
2
b2 921 2 3 2 3
45
,
lo cual implica que b 45 35. Por tanto, la longitud del eje menor es
2b 65. Un análisis similar para la hipérbola da
EJEMPLO 2 Trazar una cónica a partir de su ecuación polar
32
Trazar la gráfica de la ecuación polar r
3 5 sin
Solución Se divide el numerador y el denominador entre 3 y se obtiene
.
sen
323
r
1 53 sin .
sen
Como la gráfica es una hipérbola. Como la directriz es la recta
El eje transversal de la hipérbola se encuentra en la recta y los vértices
se encuentran en
3
y r, 16, 2
Dado que la longitud del eje transversal es 12, a 6. Para encontrar b, se escribe
.
r, y
4, 2
32
5 .
d 32
5 ,
5
e 3 > 1,
b2 a2e2 1 62 5
3 2
1 64.
0
b 2 a 2 c 2 a 2 ea 2 a 2 1 e 2 .
b 2 c 2 a 2 ea 2 a 2 a 2 e 2 1.
,
Dividir el numerador y el
denominador entre 3.
Elipse.
Hipérbola.
2,
Por tanto, b 8. Por último, se usan a y b para determinar las asíntotas de la hipérbola
y obtener la gráfica que se muestra en la figura 10.62.