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NOTA Cuando se aplica la fórmula de
la longitud de arco a una curva polar, es
necesario asegurarse de que la curva esté
trazada (se recorra) sólo una vez en el
intervalo de integración. Por ejemplo, la
rosa dada por r cos 3 está trazada
(se recorre) una sola vez en el intervalo
0 ≤ ≤ , pero está trazada (se
recorre) dos veces en el intervalo
0 ≤ ≤ 2.
r = 2 − 2 cos θ
Figura 10.56
π
2
1
0
SECCIÓN 10.5 Área y longitud de arco en coordenadas polares 743
Longitud de arco en forma polar
La fórmula para la longitud de un arco en coordenadas polares se obtiene a partir de
la fórmula para la longitud de arco de una curva descrita mediante ecuaciones paramétricas.
(Ver el ejercicio 77.)
TEOREMA 10.14 Longitud de arco de una curva polar
Sea una función cuya derivada es continua en un intervalo La
longitud de la gráfica de desde
s f
hasta es
2 f 2 f
r f
d
d.
EJEMPLO 4 Encontrar la longitud de una curva polar
Encontrar la longitud del arco que va de a en la cardioide
r f 2 2 cos
que se muestra en la figura 10.56
Solución Como se puede encontrar la longitud de arco de la siguiente
manera.
s f2 f2 f 2 sen sin ,
d
Fórmula para la longitud de arco
de una curva polar.
16
En el quinto paso de la solución, es legítimo escribir
2 sin22 2 sen sin2 (2)
en lugar de
2
4 sin
2 d
22 2 sin2
0 2 d
0
22 1 cos d
0
sen2 sen
0
2
2
8cos 81 1
sen 2
2 2 cos 2 2 sin 2 sen d
2
2 2
0
2 sin22 2sin2 sen2 sen (2)
porque sen sin2 ≥ 0 para 0 ≤ ≤ 2.
0
2
Simplificación.
Identidad trigonométrica.
sin para 0 ≤ ≤ 2
sen ≥ 0
2
NOTA Empleando la figura 10.56 se puede ver que esta respuesta es razonable mediante com-
5
paración con la circunferencia de un círculo. Por ejemplo, un círculo con radio 2 tiene una circunferencia
de 5 15.7.
r2 dr
d 2
≤ ≤ .