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698 CAPÍTULO 10 Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
−4
−2
(x − 1) 2 (y + 2) 2
+ = 1
4 16
y
−6
Vértice
Foco
Centro
Foco
Vértice
Elipse con eje mayor vertical
Figura 10.10
Figura 10.11
2
Tierra
Perigeo Apogeo
2
4
Luna
x
EJEMPLO 3 Completar cuadrados
Encontrar el centro, los vértices y los focos de la elipse dada por
4x 2 y 2 8x 4y 8 0.
Solución Al completar el cuadrado se puede expresar la ecuación original en la
forma estándar o canónica.
4x 2 y 2 8x 4y 8 0
4x 2 8x y 2 4y 8
4x 2 2x 1 y 2 4y 4 8 4 4
4 x 1 2 y 2 2 16
x 12 y 22
1
4 16
Escribir la ecuación original.
Escribir la forma estándar o canónica.
Así, el eje mayor es paralelo al eje y, donde h 1, k 2, a 4, b 2 y
c 16 4 23. Por tanto, se obtiene:
Centro: 1, 2
h, k.
Vértices: 1, 6 y 1, 2
h, k ± a.
Focos: 1, 2 23 y 1, 2 23
h, k ± c.
La gráfica de la elipse se muestra en la figura 10.10.
NOTA Si en la ecuación del ejemplo 3, el término constante F 8 hubiese sido mayor o
igual a 8, se hubiera obtenido alguno de los siguientes casos degenerados.
1. F 8, un solo punto, 1, 2:
2. F > 8, no existen puntos solución:
EJEMPLO 4 La órbita de la Luna
La Luna gira alrededor de la Tierra siguiendo una trayectoria elíptica en la que el centro
de la Tierra está en uno de los focos, como se ilustra en la figura 10.11. Las longitudes
de los ejes mayor y menor de la órbita son 768 800 kilómetros y 767 640
kilómetros, respectivamente. Encontrar las distancias mayor y menor (apogeo y perigeo)
entre el centro de la Tierra y el centro de la Luna.
Solución Para comenzar se encuentran a y b.
2a 768 768,800 800 Longitud del eje mayor.
a 384,400 384 400 Despejar a.
2b 767 767,640 640 Longitud del eje menor.
b 383,820 383 820 Despejar b.
Ahora, al emplear estos valores, se despeja c como sigue.
c a2 b2 21 21,108 108
x 1 2
4
x 1 2
4
y 22
16
La distancia mayor entre el centro de la Tierra y el centro de la Luna es
a c 405 405,508 508 kilómetros y la distancia menor es a c 363 363,292 292 kilómetros.
0
y 22
16
< 0