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En los ejercicios 1 a 4, hallar dy/dx.
En los ejercicios 5 a 14, hallar y d y hallar la pendiente
y la concavidad (de ser posible) en el punto correspondiente
al valor dado del parámetro.
2y/dx2 dy/dx ,
9.
10.
11.
12.
13.
14.
Ecuaciones paramétricas Punto
En los ejercicios 15 y 16, hallar una ecuación para la recta tangente
en cada uno de los puntos dados de la curva.
En los ejercicios 17 a 20, a) usar una graficadora para trazar la
curva representada por las ecuaciones paramétricas, b) usar
una graficadora para hallar dx/dt, dy/dt y dy/dx para el valor
dado del parámetro, c) hallar una ecuación de la recta tangente
a la curva en el valor dado del parámetro, y d) usar una graficadora
para trazar la curva y la recta tangente del apartado c).
17.
18.
19.
20.
Ejercicios de la sección 10.3
1. 2.
3. 4. x 2e , y e2 x 3 x t t, y 4 t
2 , y 5 4t
x sin 2 , y cos 2
5.
6.
7.
8. x t 2 x t 1, y t
3t 2, y 2t
2 x 2t, y 3t 1
x t, y 3t 1
3t
x 2 cos , y 2 sen sin
x cos , y 3 sen sin
x 2 sec , y 1 2 tan
x t, y t 1
y 2 sin 2
6
4
2 (0, 2)
− , 3 ( 3 2)
2 3
−4 −2
−2
Ecuaciones paramétricas Parámetro
x 2t, y t 2 1
y
x t 1, y 1
1
t
x t 2 t 2, y t 3 3t
x 4 cos , y 3 sen sin
2
sen
x cos 3 , y sin 3
x sin sen,
y 1 cos
( , )
4
1
2
x
6
5
1
y
t 3
t 1
t 1
t 0
t 2
15. x 2 cot
16. x 2 3 cos
sen y 3 2 sen sin
(2, 5)
−1 1 2
t 2
t 1
(−1, 3)
t 1
3
4
4
0
6
4
3
4 + 3 3 ( , 2
2 )
4
5
6
x
SECCIÓN 10.3 Ecuaciones paramétricas y cálculo 725
En los ejercicios 21 a 24, hallar las ecuaciones de las rectas tangentes
en el punto en el que la curva se corta a sí misma.
21.
22.
23.
24.
y t2 x t3 x t
6t,
2 t, y t3 x 2 sen
sin 2t, y 3 sen sin t
x 2 cos t, y 2t sen sin t
3t 1
En los ejercicios 25 y 26, hallar todos los puntos de tangencia
horizontal y vertical (si los hay) a la porción de la curva que se
muestra.
25. Evolvente o involuta de un círculo: 26.
x cos sen sin
y sen sin cos
−6
8
6
4
2
−2
−4
y
θ
En los ejercicios 27 a 36, hallar todos los puntos de tangencia
horizontal y vertical (si los hay) a la curva. Usar una graficadora
para confirmar los resultados.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34. x 4 cos y 2 sin
35.
36.
x sec , y tan
2 x t
x 3 cos , y 3 sin
x cos , y 2 sin 2
x 4 2 cos , y 1 sin
,
2 t 2, y t 3 x 1 t, y t
3t
3 x t 1, y t
3t
2 x 1 t, y t
3t
2
sen
sen
sen
sen
x cos 2 , y cos
2
4
En los ejercicios 37 a 42, determinar los intervalos de t en los
que la curva es cóncava hacia abajo o cóncava hacia arriba.
37.
38.
39.
40. x t y ln t
41. x sin t, y cos t, 0 < t <
42. x 2 cos t, y sin t, 0 < t < 2
2 y t
x 2t ln t, y 2t ln t
,
2 t3 x 2 t2 y t
,
3 x t t
2 ,
sen
sen
6
8
x
10
8
6
4
2
y
2
x 2
y 21 cos
4
6
8 10 12
x