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Área de una superficie En los ejercicios 63 a 66, dar una integral
que represente el área de la superficie generada por revolución
de la curva alrededor del eje x. Usar una graficadora
para aproximar la integral.
63.
64.
65.
66.
Ecuaciones paramétricas Intervalo
x 4t,
x 1
4 t2 ,
x cos 2 ,
Área de una superficie En los ejercicios 67 a 72, encontrar el
área de la superficie generada por revolución de la curva alrededor
de cada uno de los ejes dados.
67. a) eje x b) eje y
68. a) eje x b) eje y
69. eje y
70. eje y
71. x a cos 0 ≤ ≤ , eje x
72. x a cos , y b sin , 0 ≤ ≤ 2,
a) eje x b) eje y
3 , y a sin3 x 1 ≤ t ≤ 2,
,
1
3t 3 0 ≤ ≤
, y t 1,
2 ,
x t, y 2t, 0 ≤ t ≤ 4,
x t, y 4 2t, 0 ≤ t ≤ 2,
x 4 cos , y 4 sen sin ,
sen3 sen
79. Mediante integración por sustitución mostrar que si y es una
función continua de x en el intervalo a ≤ x ≤ b, donde x ft
y y gt, entonces
b
a
y t 1
x sen sin ,
y t 2
y cos
y cos
Desarrollo de conceptos
t2 y dx gt ft dt
t1 0 ≤ t ≤ 2
0 ≤ t ≤ 4
0 ≤ ≤
2
0 ≤ ≤
2
73. Dar la forma paramétrica de la derivada.
74. Determinar mentalmente dydx.
a) x t, y 4 b) x t, y 4t 3
75. Dibujar la gráfica de la curva definida por las ecuaciones
paramétricas x gt y y f t tales que dxdt > 0 y
dydt < 0 para todos los números reales t.
76. Dibujar la gráfica de la curva definida por las ecuaciones
paramétricas x gt y y f t tales que dxdt < 0 y
dydt < 0 para todos los números reales t.
77. Dar la fórmula integral para la longitud de arco en forma
paramétrica.
78. Dar las fórmulas integrales para las áreas de superficies de
revolución generadas por revolución de una curva suave C
alrededor a) del eje x, y b) del eje y.
donde f t1 a, f t2 b, y tanto g como son continuas en
t1 , t2. f
SECCIÓN 10.3 Ecuaciones paramétricas y cálculo 727
80. Área de una superficie Una porción de una esfera de radio r
se elimina cortando un cono circular con vértice en el centro de
la esfera. El vértice del cono forma un ángulo 2θ. Hallar el área
de superficie eliminada de la esfera.
Área En los ejercicios 81 y 82, hallar el área de la región. (Usar
el resultado del ejercicio 79.)
81. 82.
Áreas de curvas cerradas simples En los ejercicios 83 a 88, usar
un sistema por computadora para álgebra y el resultado del
ejercicio 79 para relacionar la curva cerrada con su área. (Estos
ejercicios fueron adaptados del artículo “The Surveyor’s Area
Formula” de Bart Braden en la publicación de septiembre de
1986 del College Mathematics Journal, con autorización del
autor.)
8
x 2 sin2 sen 2
y 2 sin2 sen tan 2
0 ≤ <
2
−2
a) b) 8a c)
d) ab e) 2ab f)
2
3 ab
83. Elipse: 0 ≤ t ≤ 2 84. Astroide: 0 ≤ t ≤ 2
x b cos t
y a sin3 y a sen sin t
sen t 3
a
2
1
−1
−1
−2
y
85. Cardioide: 0 ≤ t ≤ 2 86. Deltoide: 0 ≤ t ≤ 2
x 2a cos t a cos 2t
y 2a sen sin t a sen sin 2t
y
y
a
3
b
1 2
x
x
x
2a 2
6a 2
x 2 cot
y 2 sin2 sen 2
0 < <
−2
−1
−1
x a cos 3 t
a
−2
x 2a cos t a cos 2t
y 2a sen sin t a sen sin 2t
y
1
y
a
y
1
a
2
x
x
x