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728 CAPÍTULO 10 Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares 87. Reloj de arena: 0 ≤ t ≤ 2 88. Lágrima: 0 ≤ t ≤ 2 x a sen sin 2t y b sen sin t y b sen sin t b y a Centroide En los ejercicios 89 y 90, hallar el centroide de la región limitada por la gráfica de las ecuaciones paramétricas y los ejes de coordenadas. (Usar el resultado del ejercicio 79.) 89. x t, y 4 t 90. x 4 t, y t Volumen En los ejercicios 91 y 92, hallar el volumen del sólido generado por revolución en torno al eje x de la región limitada por la gráfica de las ecuaciones dadas. (Usar el resultado del ejercicio 79.) 91. x 3 cos , y 3 sen sin 92. x cos , y 3 sen sin , a > 0 93. Cicloide Emplear las ecuaciones paramétricas y para responder lo siguiente. a) Hallar y b) Hallar las ecuaciones de la recta tangente en el punto en el que c) Localizar todos los puntos (si los hay) de tangencia horizontal. d) Determinar dónde es la curva cóncava hacia arriba y dónde es cóncava hacia abajo. e) Hallar la longitud de un arco de la curva. 94. Emplear las ecuaciones paramétricas y para los apartados siguientes. a) Emplear una graficadora para trazar la curva en el intervalo b) Hallar y c) Hallar la ecuación de la recta tangente en el punto 3, d) Hallar la longitud de la curva. e) Hallar el área de la superficie generada por revolución de la curva en torno al eje x. 95. Evolvente o involuta de círculo La evolvente o involuta de un círculo está descrita por el extremo P de una cuerda que se mantiene tensa mientras se desenrolla de un carrete que no gira (ver la figura). Mostrar que la siguiente es una representación paramétrica de la evolvente o involuta x rcos sin y y rsin cos . 8 d 3. 2ydx2 y 3t 3 ≤ t ≤ 3. dydx . 1 3 t3 x t2 d 3 2ydx2 x a sen sin y a1 cos , a > 0 dydx . sen sen 6. x x 2a cos t a sen sin 2t b y a x Figura para 95 96. Evolvente o involuta de un círculo La figura muestra un segmento de cuerda sujeto a un círculo de radio uno o de radio unitario. La cuerda es apenas lo suficientemente larga para llegar al lado opuesto del círculo. Encontrar el área que se cubre cuando la cuerda se desenrolla en sentido contrario al de las manecillas del reloj. 1 y r θ r P 97. a) Usar una graficadora para trazar la curva dada por x 1 t 2 2t x 20 ≤ t ≤ 20. 1 t 2 , y 1 t 2 , b) Describir la gráfica y confirmar la respuesta en forma analítica. c) Analizar la velocidad a la cual se traza la curva cuando t aumenta de 20 a 20. 98. Tractriz Una persona se mueve desde el origen a lo largo del eje y positivo jalando un peso atado al extremo de una cuerda de 12 metros de largo. Inicialmente, el peso está situado en el punto 12, 0. a) En el ejercicio 86 de la sección 8.7, se mostró que la trayectoria del peso se describe mediante la siguiente ecuación rectangular 12 144 x2 y 12 ln 144 x2 x donde Usar una graficadora para representar la ecuación rectangular. b) Usar una graficadora para trazar la gráfica de las ecuaciones paramétricas y y t 12 tanh donde t ≥ 0. Comparar esta gráfica con la del apartado a). ¿Qué gráfica (si hay alguna) representa mejor la trayectoria? c) Emplear las ecuaciones paramétricas de la tractriz para verificar que la distancia de la intersección con el eje y de la recta tangente al punto de tangencia es independiente de la ubicación del punto de tangencia. t x 12 sech 12 t 0 < x ≤ 12. 12 ¿Verdadero o falso? En los ejercicios 99 y 100, determinar si la afirmación es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué o dar un ejemplo que demuestre que es falsa 99. Si y entonces 100. La curva dada por y t tiene una tangente horizontal en el origen puesto que dydt 0 cuando t 0. 2 x t 3 d , 2ydx2 x f t y gt, gtft.
O SECCIÓN 10.4 Coordinadas polares y gráficas polares 729 Sección 10.4 Coordenadas polares y gráficas polares r = distancia dirigida Coordenadas polares Figura 10.36 θ = ángulo dirigido COORDENADAS POLARES P = (r, θ) Eje polar El matemático al que se le atribuye haber usado por primera vez las coordenadas polares es James Bernoulli, quien las introdujo en 1691. Sin embargo, ciertas evidencias señalan la posibilidad de que fuera Isaac Newton el primero en usarlas. • Comprender el sistema de coordenadas polares. • Expresar coordenadas y ecuaciones rectangulares en forma polar y viceversa. • Trazar la gráfica de una ecuación dada en forma polar. • Hallar la pendiente de una recta tangente a una gráfica polar. • Identificar diversos tipos de gráficas polares especiales. Coordenadas polares Hasta ahora las gráficas se han venido representando como colecciones de puntos (x, y) en el sistema de coordenadas rectangulares. Las ecuaciones correspondientes a estas gráficas han estado en forma rectangular o en forma paramétrica. En esta sección se estudiará un sistema de coordenadas denominado sistema de coordenadas polares. Para formar el sistema de coordenadas polares en el plano, se fija un punto O, llamado polo (u origen), y a partir de O, se traza un rayo inicial llamado eje polar, como se muestra en la figura 10.36. A continuación, a cada punto P en el plano se le asignan coordenadas polares (r, ), como sigue. r distancia dirigida de O a P ángulo dirigido, en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje polar hasta el segmento OP — La figura 10.37 muestra tres puntos en el sistema de coordenadas polares. Obsérvese que en este sistema es conveniente localizar los puntos con respecto a una retícula de circunferencias concéntricas intersecadas por rectas radiales que pasan por el polo π En coordenadas rectangulares, cada punto x, y tiene una representación única. Esto no sucede con las coordenadas polares. Por ejemplo, las coordenadas r, y r, 2 representan el mismo punto [ver los apartados b) y c) de la figura 10.37]. También, como r es una distancia dirigida, las coordenadas r, y r, representan el mismo punto. En general, el punto r, puede expresarse como o π 2 3π 2 a) Figura 10.37 θ = π 3 ( 2, ) π 3 1 2 3 r, r, 2n r, r, 2n 1 0 π π 2 3π 2 donde n es cualquier entero. Además, el polo está representado por 0, , donde es cualquier ángulo. 2 3 θ = − π 6 π ( 3, − 6) b) c) 0 π π 2 3π 2 2 3 θ = 11π 6 11π ( 3, 6 ) 0
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