Capítulo 4 - josé luis gonzález marí

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202 Parte II.- Plan de formación <strong>Capítulo</strong> 4.- Programa, Unidades Didácticas y Seminarios que el que se expone para los restantes temas. 6.2.- CONTENIDOS 6.2.1.- Análisis didáctico Ubicación en el Currículo de Primaria. Orientaciones oficiales; La relatividad aditiva y los números positivos y negativos forman parte de un campo de conocimientos estrechamente relacionado, en sus inicios, con el campo conceptual aditivo. Así, presentan ciertas relaciones de dependencia con algunos aspectos de los números naturales (comparaciones, transformaciones, significados duales, etc.) y comparten con ellos, con los deci-males y las fracciones un núcleo fenomenológico común (relacionado con la relatividad aditivo-ordinal y con el campo conceptual de los números naturales relativos). Se trata, por tanto, de un contenido matemático cuyo desarrollo curricular se debe iniciar en la Educación Primaria y continuar en la Educación Secundaria obligatoria, quedando su culminación formal, si es el caso, para cursos posteriores; de hecho, su ubicación en el diseño curricular y las orientaciones para su tratamiento didáctico varían de unas Comunidades a otras dentro del Estado español. El Real Decreto 1344/1991 de 6 de septiembre (B.O.E. 13/9/91), por el que el Ministerio establece el currículo para Educación Primaria, recoge los contenidos del Área de Matemáticas relacionados con los números enteros en el bloque “números y operaciones”. Asímismo, en dicho apartado se establecen los contenidos para el número natural y las operaciones con números naturales, una parte de los cuales, aquélla en la que intervienen comparaciones y transformaciones de medidas discretas y números naturales, son de especial importancia para el tema. La Junta de Andalucía no contempla los números enteros ni los números con signo como tales en el diseño curricular de Primaria, aunque sí contempla el mismo campo anterior en los bloques de números y operaciones. Conceptos, procedimientos y actitudes; Conceptos: Transformación y comparación aditivas; opuestos aditivos; relatividad aditivo ordinal; números naturales relativos (adjetivados o dirigidos); números positivos y negativos, números enteros; orden; recta numérica. Procedimientos: Operaciones aritméticas con números naturales relativos: adición natural relativa; operaciones aritméticas con números enteros: suma y resta. Limitaciones de la multiplicación. - Actitudes: Curiosidad por indagar sobre las relaciones aditivo-ordinales y su significado; gusto por el descubrimiento de regularidades; interés por la formulación y comunicación de nociones aditivo-ordinales; sensibilidad ante la utilidad de los números con signo; apreciación de la necesidad de nuevos números. Indicamos brevemente a continuación cuáles son las nociones y el alcance del tema. El campo de la relatividad aditivo-ordinal surge de la ampliación “natural” a un contexto relativo de la idea “el número representa una cantidad”, tiene su origen en la comparación natural y llega hasta el grupo aditivo y ordenado (Z, +, ≤). Involucra nociones métricas y numéricas de varios tipos, que se pueden caracterizar mediante tres elementos: número natural (cardinal u ordinal), origen o referencia y doble sentido que da lugar al doble signo: • medidas y números “naturales relativos” (González, 1998)), para las que no existe una construcción matemática formal ni una simbolización específica (se suelen utilizar números naturales o números con signo, dependiendo del caso), que no tienen una estructura de orden total sino parcial (no tiene sentido comparar ganancias con pérdidas o bienes con deudas, si no es en valor absoluto), con las que se puede operar aditivamente mediante la suma de números naturales, si se trata de números y medidas del mismo “signo” (“ayer perdí 3 y hoy he perdido 4; entre los dos días he per- González Marí, J. L. Proyecto Docente
Didáctica de la Matemática y Prácticas de Enseñanza en Matemáticas en Educación Primaria 203 dido 7”), o mediante reglas familiares y naturales de anulación-compensación de opuestos (“si avanzo 3 km y luego retrocedo 2 km., en total avanzo 1 km.”). • magnitudes y medidas basadas en escalas ordinales (temperaturas, cronologías,, etc.), que se representan mediante números con signo y entre los que no tienen sentido las operaciones. • magnitudes y medidas que involucran la adición y el orden de los números enteros (grupo aditivo y ordenado (Z, +, ≤)), que constituyen la culminación de esta “extensión natural”, son las situaciones más “completas” dentro del campo, el modelo presenta una estructura de orden total sin primer ni último elementos y es posible operar aditivamente sin ninguna restricción. Consideraciones históricas; La historia de los números positivos y negativos, desde la aparición de las primeras nociones hasta su justificación y formalización matemática como números enteros en la segunda mitad del siglo XIX, ha sido larga y controvertida (González y otros, 1990, págs. 21-58); un proceso de más de 20 siglos caracterizado por la existencia de diferencias notables entre distintas civilizaciones en lo que se refiere a su concepción y utilidad y a la dificultad para justificarlos e integrarlos en el conjunto de conocimientos matemáticos. Así, mientras que los números negativos eran utilizados en algunas culturas orientales (China, India) para resolver problemas comerciales, en las civilizaciones griega, árabe y europea, aún siendo conocidos y utilizados como artificios de cálculo, eran rechazados o ignorados porque no encajaban con la idea: “el número expresa cantidad”. Dos maneras de negatividad (Lizcano, 1993) tales que la segunda culminó con la construcción formal adoptada hoy día, “tapando” literalmente a la primera, en cuyo marco se sitúa la relatividad aditivo-ordinal. Los primeros antecedentes de las cantidades negativas se remontan al capítulo octavo de los “Nueve <strong>Capítulo</strong>s del arte matemático” (Jiu zhang suanshu), cuya versión original es anterior a la dinastía de los Primeros Han (202 a. de C.). Mediante el manejo de palillos que se disponían sobre un tablero de cálculo o un tapete y utilizando un método (“fang cheng”) se resolvían manipulativamente lo que hoy conocemos como sistemas de ecuaciones (Lizcano, op. cit.). El modelo hindú de bienes y deudas consideraba los negativos como entidades aisladas con su aritmética correspondiente. Los hindúes utilizaban e interpretaban las raíces negativas de las ecuaciones y resolvían problemas de tipo práctico. Brahmagupta, en el 628 d. de C., establecía los algoritmos para efectuar operaciones aritméticas con los “bienes”, las “deudas” y la “nada”. La historia más reciente se puede encontrar en González (1990), de la que destacamos lo siguiente: En los últimos años, había una preocupación especial por encontrar una justificación a lo que hoy conocemos como “regla de los signos” para la multiplicación. Se sabía que dichas reglas tenían que ser así porque aparecían en la resolución de problemas y en las manipulaciones algebraicas, pero no se disponía de una explicación satisfactoria y menos aún de una demostración matemática. Se dieron numerosos intentos de justificación, pero todas encerraban algún problema o dependían de la suposición arbitraria o convencional de alguna propiedad. Posteriormente, con motivo de la construcción formal, se vió que “no es posible una demostración .., resultando ser una convención arbitraria para preservar el formalismo del cálculo”(Klein, 1927). En el siglo XIX se entró en un terreno formal, puramente matemático, en el que fué posible la admisión y legalización de los números negativos gracias al principio de permanencia de las leyes formales (Peacok (1791-1858), Hankel (1867); citados y comentados en González y otros, 1990, págs. 48-49). De forma simplificada y particular dice lo siguiente: todas las reglas que se verifican para los números naturales deben seguir verificándose para los nuevos campos numéricos, de manera que se conserven las definiciones en el campo menos amplio como casos particulares de las nuevas definiciones en los campos ampliados sin que exista contradicción. La ampliación requiere identificar los números naturales con los positivos, añadir los negativos Univer- Didáctica de la Matemática sidad de Málaga
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