Cours sur les méthodes d'évaluation acoustique ... - Fao - Copemed

2. Système de coordonnéesSystème de coordonnées 1En mathématiques, un système de coordonnées permet de faire correspondre à chaque point d'un espace à Ndimensions, un N-uplet de scalaires. Dans beaucoup de cas, les scalaires considérés sont des nombres réels, mais ilest possible d'utiliser des nombres complexes ou des éléments d'un corps commutatif quelconque. Plus généralement,les coordonnées peuvent provenir d'un anneau ou d'une autre structure algébrique apparentée.On considère que l'espace existe en lui-même indépendamment du choix d'un système de coordonnées particulier.ExemplesLe cas le plus courant est la notion de coordonnées en géométrie, voir l'article Repérage dans le plan et dans l'espace: on choisit un point de repère appelé « origine », et trois « règles graduées » de directions distinctes qui ne sont pasdans le même plan (dans le plan, deux direction suffisent). Les coordonnées de ce point sont appelées « abscisse », «ordonnée » et « cote », et sont notées respectivement x, y et z. Voir aussi l'article Géométrie analytique.En géographie, on associe une longitude et une latitude à des endroits géographiques ; c'est un système decoordonnées. Dans ce cas, la paramétrisation n'est pas unique aux pôles Nord et Sud.Un exemple de système de coordonnées permet de décrire un point P dans l'espace euclidien par un n-uplet :étant des nombres réels appelés coordonnées du point P.Si un sous-ensemble S d'un espace euclidien est appliqué de façon continue sur un autre espace topologique, celadéfinit les coordonnées de l'image de S. On peut parler de paramétrisation de l'image, puisque ce processus assignedes nombres aux points. La correspondance est unique seulement si l'application est bijective.TransformationsUne transformation de coordonnées est une conversion d'un système à un autre pour décrire le même espace.Certains choix de système de coordonnées peut conduire à des paradoxes, par exemple au voisinage d'un trou noir,qui peuvent être résolus en changeant de système. Cela n'est toutefois pas possible en une véritable singularitémathématique.Systèmes courantsQuelques systèmes de coordonnées couramment utilisés :• le système de coordonnées cartésiennes utilisé dans un espace vectoriel ou un espace affine de dimension finie.• pour tout espace vectoriel de dimension finie et toute base, les coefficients des vecteurs exprimés dans cette basepeuvent être utilisés comme coordonnées. Changer de base est une transformation de coordonnées, unetransformation linéaire qui peut être définie par une matrice.• le système de coordonnées curvilignes est une généralisation, basée sur des intersections de courbes.• les systèmes de coordonnées polaires :• le système de coordonnées cylindriques représente un point dans l'espace par un angle, une distance à l'origineet une hauteur.• le système de coordonnées sphériques représente un point dans l'espace par deux angles et une distance àl'origine. Le système de coordonnées géographiques en est dérivé.• des systèmes de coordonnées généralisées sont utilisés en mécanique lagrangienne.