Cours sur les méthodes d'évaluation acoustique ... - Fao - Copemed

Sphère 2L'élément d'aire de la sphère de rayon dans les coordonnées latitude-longitude est . Onen déduit que l'aire d'un fuseau (portion limitée par deux demi-cercles joignant les pôles et faisant un angleexprimé en radians) est .Cela permet aussi de calculer l'aire d'une calotte sphérique (on dit aussi segment de sphère), c’est-à-dire d'uneportion de sphère limitée par deux plans parallèles de distancel'un pouvant être tangent à la sphère. On trouve: l'aire est la même que celle d'un cylindre circulaire de même hauteur tangent à la sphère (cylindrecirconscrit). Ce résultat remarquable est démontré par Archimède dans son traité De la sphère et du cylindre [1] .Selon Cicéron, Archimède aurait, demandé que soient gravés, en mémoire de ce résultat, sur son tombeau, unesphère et son cylindre circonscrit [2] .Le cylindre circonscrit à une sphère donnée a un volume égal à 3 ⁄ 2fois le volume de la sphère.La sphère a la plus petite aire parmi les surfaces renfermant un volume donné et renferme le volume le plus élevéparmi les surfaces d'une aire donnée. Elle est la réponse à la question d'isopérimétrie pour l'espace euclidien dedimension 3. Pour cette raison, la sphère apparaît dans la nature, par exemple les bulles et gouttes d'eau (en l'absencede gravité) sont des sphères car la tension superficielle essaie de minimiser l'aire.DéveloppementOn peut démontrer que la sphère est une surface non développable. Il n'existe pas de patron de la sphère. Néanmoins,il est possible en pratique, d'obtenir des surfaces développables approchant la sphère très fidèlement, c'est le cas detous les ballons cousus. Voir : ballon de football (icosaèdre tronqué), ballon de volley-ball, et ballon fantaisie (enfuseaux de pôle à pôle.)Notez que la pression interne gauchit les surfaces et fidélise l'approche… Plus on gonfle plus la sphère s'approche dela perfection.Généralisation aux autres dimensionsOn peut généraliser le concept de sphère à un espace de dimension quelconque dans N. Pour tout entier naturel n, unen-sphere, notée S n , est l'ensemble des points de l'espace euclidien à (n+1) dimensions qui sont à distance fixée r d'unpoint de cet espace (r est un réel strictement positif). Par exemple :• une 0-sphère est la paire des points extrémités de l'intervalle (−r, r) de la ligne réelle,• une 1-sphère est un cercle de rayon r• une 2-sphère est une sphère ordinaireLes sphères de dimension n > 2 sont parfois appelées hypersphères.L'aire d'une (n−1)-sphère de rayon 1 estoù Γ(z) est la fonction Gamma d'Euler.Une autre formule pour la surface est