Wahana

Analisis
1. Suku ke-n dari setiap deret aritmetika merupakan fungsi linear dari n dan jumlah
ke-n dari setiap deret aritmetika merupakan fungsi kuadrat dari n. Hal ini dapat
ditunjukkan sebagai berikut.
u = a + (n–1)b
n
= bn + (a–b) merupakan fungsi linear dari n
dan
S = n{u + u }
n 1 n
= n{a + bn + (a–b)}
= bn2 + (a–b)n merupakan fungsi kuadrat dari n
2. Apabila dalam sebuah barisan suku ke-n merupakan fungsi linear dari n, maka
barisan itu merupakan barisan aritmetika.
Bukti:
110
Karena suku ke-n merupakan fungsi linear dari n, maka u n dapat dinyatakan dalam
bentuk: u n = pn + q dan u n – 1 = p(n – 1) + q. Akibatnya, u n – u n – 1 = p. Jadi, selisih dua suku
yang berurutan tak bergantung pada n. Ini berarti, deretnya merupakan deret
aritmetika dengan beda, b = p.
W
3. Apabila jumlah suku ke-n merupakan fungsi kuadrat dari n yang tidak mempunyai
suku konstanta, maka deret ini merupakan deret aritmetika.
Bukti:
Karena S n merupakan fungsi kuadrat dari n yang tidak mempunyai suku konstanta,
maka S n dapat dinyatakan dalam bentuk:
S n = pn 2 + qn dan S n – 1 = p(n – 1) 2 + q(n – 1) = p(n 2 – 2n + 1) + qn – q
Akibatnya,
S n – S n – 1 = pn 2 + qn – pn 2 + 2pn – p – qn + q = 2pn + (q – p)
Padahal S n – S n-1 = u n .
Jadi, u n merupakan fungsi linear dari n, dan berdasarkan catatan sebelumnya dapat
disimpulkan bahwa deretnya merupakan deret aritmetika.
W
Latihan 3.3
1. Manakah yang merupakan deret aritmetika dari deret berikut ini?
a. 1 + 2 + 3 + ... d. 1 + 1 + 1 + 1 + ...
b. 1 2 + 2 2 + 3 2 + ... e. 1 + 1
4
c. 2 + 5 + 8 + ... f. 1 + (–1) + 1 + (–1) + ...
2. Tentukan jumlah setiap deret aritmetika berikut ini.
a. 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 41 d. 7, 4, 1, –2, ... sampai 10 suku
b. 5 + 10 + 15 + 20 + ... + 75 e. 8, 13, 18, 23, ... sampai 12 suku
c. –9, –6, –3, 0, 3, ... , 30 f. 1 + 2 + 3 + 4, ... sampai 30 suku
+ 1
2
+ 3
4
+ ...
Matematika SMA/MA Kelas XII - Bahasa