Wahana

5. Hitunglah:
a.
b.
c.
d.
10
∑ ii ( − 3)
i=
1
100
∑ (2i − 3)
i=
1
10
∑ ( k+ 1)(2k+ 3)
k=
1
10
3 2
∑ ( i − 2 i )
i=
2
3.8 Pembuktian dengan Induksi Matematika
Pada subbab ini kita akan membahas kebenaran rumus untuk jumlah dari n
bilangan asli pertama, jumlah dari n kuadrat bilangan asli pertama, dan jumlah n
pangkat tiga bilangan asli pertama, yaitu:
1.
2.
3.
n
i
i=
1
∑ = 1 + 2 + 3 + ... + n =
n
2
i
i=
1
∑ = 1 2 + 2 2 + 3 2 + ... + n 2 =
n
3
i
i=
1
∑ = 1 3 + 2 3 + 3 3 + ... + n 3 =
nn+ ( 1)
2
nn ( + 1)(2n+ 1)
6
2
⎡nn+ ( 1) ⎤
⎢⎣ 2 ⎥⎦
Untuk rumus-rumus yang kebenarannya berlaku untuk setiap bilangan asli,
kita dapat membuktikan bahwa rumus-rumus ini benar dengan menggunakan Prinsip
Induksi Matematika, yang mengatakan bahwa jika {P n } merupakan barisan pernyataan
yang memenuhi kondisi:
(i) P 1 adalah pernyataan benar
(ii) kebenaran P i mengakibatkan kebenaran P i + 1
maka P n adalah pernyataan benar untuk semua bilangan asli n.
Sekarang kita akan menggunakan prinsip induksi matematika untuk
membuktikan rumus (2). Untuk setiap bilangan asli n, misalkan P n adalah pernyataan:
Kita perhatikan bahwa:
P n : 1 2 + 2 2 + 3 2 + ... + n 2 =
merupakan pernyataan yang benar.
P 1 : 1 2 =
1(1 + 1)(2 + 1)
6
nn ( + 1)(2n+ 1)
6
Sekarang diasumsikan bahwa P i merupakan pernyataan benar, sehingga berlaku:
P i : 1 2 + 2 2 + 3 2 + ... + i 2 =
ii ( + 1)(2i+ 1)
6
BAB III ~ Barisan dan Deret 127