Wahana

3.6 Deret Geometri Konvergen
Pertama-tama kita perhatikan barisan-barisan geometri berikut ini.
1. 1, 2, 4, 8, ... 3. 4, 2, 1, 1
, ...
2
2. 3, –9, 27, –81, ... 4.
1
100, –10, 1, − , ...
10
- Barisan (1) mempunyai rasio 2, sehingga suku-suku dari barisan tersebut semakin
membesar.
- Barisan (2) mempunyai rasio (–3) (nilai mutlak dari rasio adalah 3), sehingga nilai
mutlak dari suku-suku barisan tersebut juga semakin membesar.
- Barisan (3) mempunyai rasio 1
, sehingga suku-suku dari barisan tersebut semakin
2
kecil.
-
1
Barisan (4) mempunyai rasio − , nilai mutlak dari rasio adalah
10
1
, sehingga
10
nilai mutlak dari suku-suku barisan tersebut semakin kecil.
Barisan (1) dan barisan (2) yang nilai mutlak suku-sukunya semakin membesar disebut
barisan divergen, sedangkan barisan (3) dan (4) yang nilai mutlak suku-sukunya
semakin kecil disebut barisan konvergen. Dari contoh-contoh seperti di atas, dapat
disimpulkan bahwa agar barisan geometri merupakan barisan konvergen, maka nilai
mutlak dari rasionya harus lebih kecil 1.
Dari barisan konvergen dapat dibentuk deret konvergen. Pada deret konvergen,
jumlah semua suku tidak akan melebihi suatu harga tertentu, walaupun banyaknya
suku tak hingga. Sekarang kita perhatikan deret geometri berikut.
1 1 1 1
1 +
2 4 8 1
2 n−
+ + + L+ + L
Deret ini mempunyai suku pertama, a = 1 dan rasio, r = 1
. Jumlah n suku pertama dari
2
deret ini adalah:
⎛1⎞ Diketahui bahwa ⎜ ⎟
⎝2⎠ 1
= 1
2 ,
⎛ n
1
11
⎛ ⎞ ⎞
⎜ −
⎜ ⎜ ⎟ ⎟
2 ⎟
⎝ ⎝ ⎠ ⎠ ⎛ n
1
S = n 1 = 2 1
⎛ ⎞ ⎞
⎜ − ⎟
1− ⎜ ⎜ ⎟
⎝2⎠ ⎟
2
⎝ ⎠
2
⎛1⎞ ⎜ ⎟
⎝2⎠ = 1
4 ,
3
⎛1⎞ ⎜ ⎟
⎝2⎠ BAB III ~ Barisan dan Deret 119
n
= 1
8
⎛1⎞ , ... ⎜ ⎟
⎝2⎠ n
nilainya semakin kecil jika n
diambil semakin besar. Selisih antara 1 ⎛ ⎞
⎜ ⎟ dengan 0 dapat diambil sekecil-kecilnya.
⎝2⎠ Deret geometri yang demikian disebut deret konvergen. Dari keterangan di atas, dapat
disimpulkan bahwa suatu deret geometri tak hingga dikatakan konvergen, jika |r| < 1
dan r ≠ 0. Jumlah deret geometri tak hingga yang konvergen ini adalah:
a
S = ∞ 1−
r