Dissertação de Mestrado - Programa de de Pós-Graduação em ...

Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica 39
Como referido anteriormente, algum tipo de amortecimento ou dissipação de energia
está sempre presente nos problemas de vibração. Se neste sistema carregado
harmonicamente é considerado o amortecimento, a solução matemática é mais
complicada, entretanto o comportamento ressonante é limitado. Com amortecimento, a
equação do movimento fica conforme apresentada na Eq. 2.17.
( t)
+ bu&
( t)
+ ku(
t)
= p sen t
mu& &
ω
(2.17)
Neste caso, o efeito da solução transiente decai rapidamente e pode ser ignorado. A
solução permanente está mostrada na Eq. 2.18.
u
() t
( ωt
+ θ )
sen
=
p
(2.18)
k
( ) ( ) 2
2 2 2
1−
ω ω + 2ζω
ω
n
O numerador da solução mostrada anteriormente contém um termo que representa a
defasagem da resposta do deslocamento em relação ao carregamento aplicado. Na
presença de amortecimento, os picos do carregamento e da resposta não ocorrem ao
mesmo tempo. Portanto, o carregamento e a resposta estão separados por um intervalo
de tempo medido em termos do ângulo de fase θ como apresentado pela Eq. 2.19.
θ = − tan
−1
2ζω
ω
n
2 2 ( 1−
ω ω )
n
n
(2.19)
O fator de amplificação dinâmica para o caso amortecido é definido conforme Eq. 2.20.
1
( ) ( ) 2
2 2 2
1−
ω ω + 2ζω
ω
n
n
(2.20)
A relação entre a freqüência natural, a freqüência da excitação e o ângulo de fase pode
ser utilizada para identificar as principais características dinâmicas da estrutura. Se
ω ω n é muito menor que 1, o fator de amplificação dinâmica se aproxima de 1 e a
resposta para o deslocamento é a solução estática em fase com o carregamento. Se
ω ω n é muito maior que 1, o fator de amplificação dinâmica tende a zero, resultando
numa resposta com deslocamentos muito pequenos. Neste caso, a estrutura não
responde ao carregamento porque este se modifica muito rápido para a estrutura
responder. Além disso, qualquer resposta mensurável será defasada 180º do
carregamento, ou seja, a resposta para o deslocamento terá o sinal oposto ao da força.
Finalmente se ω ω = 1,
a ressonância ocorre. Neste caso, o fator amplificação é
( 2ζ
)
n
1 , e o ângulo de fase é 270º (Sitton, 1997). O fator de amplificação dinâmica e o