Dinâmica de Fluidos - Dca.ufcg.edu.br

dfdt∂ f ∂ f dx ∂ f dy= + + +∂ t ∂ x dt ∂ y dt∂∂fzdzdt(I.11)uma vez que u = dx/dt; v = dy/dt e w = dz/dt a equação I.11 pode ser reescrita comodfdt∂ f ∂uf ∂ f ∂= + + v +w f ∂ t ∂ x ∂ y ∂ z(I.12)ou, de forma mais compacta, simplesmente pordfdt∂ f = + V . ∇f(I.13)∂ t→ em que V = u i + vj + w k . Esta expressão é conhecida como derivada substantiva ou material, em qued ∂ ∂ ∂ ∂= + u + v +w é simplesmente um operador.dt ∂ t ∂ x ∂ y ∂ zO termo ∂ f ∂ t é a taxa de variação local da propriedade f e o termo V .∇f é a taxa de variaçãoadvectiva (advecção) da propriedade f. Portanto a taxa de variação substantiva é dada pela soma da taxa devariação local e da advecção.I.4.2 DERIVADA SUBSTANTIVA PELA ANÁLISE INTEGRALNeste caso iremos utilizar um volume de controle qualquer para a formulação da taxa de variação totalem termos de parâmetros integrais.Seja N o valor de alguma grandeza associada ao sistema no instante t (massa, energia, quantidade demovimento, etc.) e n o valor desta grandeza por unidade de massa. Em t +δ t, (Figura I.4) o sistema constituisedos volumes II e III, enquanto no instante t ocupava os volumes I e II. A variação da grandeza N no sistema,no intervalo de tempo δ t é dado por:∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫N − N = ( nρ dv + nρ dv) − ( nρdv + nρdv)sis ( t + δ t ) sis ( t ) ( t + δ t)( t )IIIIIIIIrearranjando os termos e dividindo por δ t , tem-se(I.14)Nδ t∫∫∫ nρdv−∫∫∫ nρdvδ t+∫∫∫ nρdvδ t−∫∫∫ nρdvδ t.(I.15)sis( t + δt )− Nsis( t ) II( t + δ t ) II( t ) III ( t + δ t ) I ( t )=O primeiro membro é a taxa média de variação do valor de N no sistema no intervalo de tempo δ t .No limite, quando δ t tende a zero, pode-se escrever dN/dt.12