Dinâmica de Fluidos - Dca.ufcg.edu.br

A.1 COORDENADAS CURVILÍNEAS Seja um ponto qualquer P em que P = P( x, y, z) e x, y , z podem ser escritas em termos de outroseixos, como r , θα , . Portanto⎧x= x(, r θα , )⎪⎨ y = y(, r θα , )(A.1)⎪⎩z= z(, r θα , ).Logo dP = dxi + dyj + dzk , (A.2)tem-se∂dx x; (A.3)r dr ∂ x x = + d + d∂ ∂θ θ ∂∂αα∂ ydy ; (A.4)r dr ∂ y y = + d + d∂ ∂θ θ ∂∂αα∂ zdz . (A.5)r dr ∂ z z = + d + d∂ ∂θ θ ∂∂ααe portanto em termos de dP, tem-sexdP ∂r i ∂ y r j ∂ zr k dr ∂ x ∂ y ∂ z= ( + + ) + (i + j + k ) d θ +∂ ∂ ∂ ∂θ ∂θ ∂θ∂( x ∂ y ∂ z i + j + k ) dα (A.6)∂α ∂α ∂αou então ∂ PdP . (A.7)r dr ∂ P P= + d + d∂ ∂θ θ ∂∂αα Sendo e e e eαvetores unitários nas direções r ,θ e α dados porr , θ = ∂ P ∂ P P rhe∂ r r→ ∂e =r r; (A.8)∂ ∂ r ∂ P ∂ P ∂ P eθ= → = heθ θ; (A.9)∂θ ∂θ ∂θ ∂ P ∂ P ∂ P eα= → = heα α. (A.10)∂α ∂α ∂α65