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yxFigura I.12 - Quadrado infinitesimal para definição da relaçãoentre circulação e vorticidade.Calculando a circulação considerando a Figura I.12 tem-se C = V.dl = udx + vdy. (I.47)∫lConsiderando cada lado do contorno a equação I.47 fica∫l∂ vC u dx v(I.48)x dx dy u ∂ u= ∫ + ∫( + ) − ∫( + dy)dx −∂∂ y∫ vdyl1 l2 l3l4rearranjando os termos e eliminando os termos iguais e de sinais contrários, tem-sev uC = ∫∫ ( ∂ ∂−(I.49)∂ x ∂ y ) dxdysou da forma, uma vez que ζ = ∂ v ∂ x−∂ u ∂ y,ficaC = ∫∫ ζ dA. (I.50)sTomando a vorticidade média pode-se escrever a seguinte relação entre circulação e vorticidadeCC = ζ A → ζ = . (I.51)APara o caso da vorticidade num ponto a relação existente élim Cζ =A→δAA .(I.52)A relação mostrada anteriormente já é assegurada pelo teorema de Stokes, que para o caso da circulaçãol Vdl . = ( ∇× V). kdA∫ ∫ ∫(I.53) como ζ = ( ∇× V). k , pode-se escrever I.53 comos20
∫ Vdl . = ∫∫ ζ dA .(I.54)lsI.8 POTENCIAL DE VELOCIDADESendo V um campo de velocidade, tal que seja gerado de um campo escalar φ da forma V =−∇φ,então diz-se que V é um campo conservativo e φ é o potencial de V ou seja, φ é o potencial de velocidade.Dessa forma, o campo de velocidade que é um campo vetorial , pode ser convertido num campo escalar.Um vez que V =−∇φ, pode-se afirmar que este campo é irrotacional, pois∇× V =∇× ( −∇ φ ) = 0. (I.55)A recíproca também é verdadeira, para que exista potencial de velocidade o campo de velocidade tem que serirrotacional, ou seja∂ v∂ x= ∂ u∂ y;∂∂wy= ∂ v∂ z;∂ u∂ z= ∂ w∂ x. (I.56)Para o caso de um escoamento plano a condição de irrotacionalidade é simplesmente ∂ v ∂ x = ∂ u ∂ y, que étambém a condição para que udx + vdy seja uma diferencial exata ou total, digamos d φ, logoudx + vdy = − ∂φ. (I.57)x dx − ∂φ∂ ∂ y dyO sinal negativo é uma convenção que faz com que o valor de φ decresça no sentido da velocidade.Comparando os termos da equação I.57 tem-seO que leva à expressão∂φ ∂φ− = u e − = v . (I.58)∂ x ∂ yV =−∇φ. (I.59)φIsso prova a existência de uma função potencial φ tal que sua derivada em relação a qualquer direção éa componente da velocidade nessa direção.A figurapotencial.I.13 exemplifica a direção e sentido do vetor velocidade potencial num campo da função21
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