Dinâmica de Fluidos - Dca.ufcg.edu.br

II.1.1.2 FORÇA GRAVITACIONALEsta força é obtida do produto da massa pela aceleração da gravidade ( g). Para um volume qualqueresta força pode ser expressa como = ∫∫∫ ρ gdv , (II.5)em que g=− gF Gvck é o vetor aceleração da gravidade e atua no sentido contrário ao vetor unitário k (vertical).Retornando à questão da equação II.1 e considerando o fluido incompressível ( ρ=cte.)pode-seescrever a equação com a introdução das forças expressas anteriormente. Portanto,ouρ ∂ ∂ t V dv + ρ VV. n dA = − ∇ p dv + ρ g dv(II.6)∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫vc sc vc vc∂∂t 1V dv + VV.n dA = − ∇ p dv + g dvρ∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫vc sc vc vc(II.7)que expressa a equação do movimento para um fluido ideal e incompressível, chamada de equação de Euler domovimento.Aplicando o teorema da divergência de Gauss ao segundo termo do lado esquerdo de II.7 e rearranjandoos termos tem-se∂∂t 1Vdv+ ( V. ∇ ) Vdv+ ∇pdv−gdv= 0 (II.8)ρ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫vc vc vc vccomo a soma das integrais é igual a integral da soma dos integrandos, tem-se∂ V ∫∫∫ [ + ( V. ∇ ) V + 1 ∇p− g]dv = 0. (II.9)∂ tρvcPara se obter a equação de Euler na forma diferencial, basta considerar que sendo esta integral devolume igual a zero então quem deve ser nulo é o integrando. Logo,∂ V∂ t 1 + ( V. ∇ ) V + ∇p− g = 0 (II.10)ρou apresentada numa forma mais usual, por∂ V∂ t 1 + ( V. ∇ ) V = − ∇ p+g. (II.11)ρ28