Dinâmica de Fluidos - Dca.ufcg.edu.br

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ρdwdt∂ p=− − ρ g+ µ ∇ 2 w; (II.58)∂ z2em que ∇ é o operador Laplaciano e não deve-se esquecer também do operador da variação substantiva d/dt.II.5 EQUAÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DE CALORA transferência de calor por condução é dada pela primeira Lei de Fourier comoTq '∝ ∆ . (II.59)∆zA Figura II.5 mostra um esquema para a transferência de calor por condução.Tomando o limite de II.59 quando ∆ z tende a zero e chamando a constante de proporcionalidade de k(condutividade térmica), tem-seFigura II.5 - Tranferência de calor por condução.Tq' =−k ∂ (II.60)∂ zo sinal negativo é devido ao sentido da transferência de calor que se dá dos altos valores de T para os maisbaixos.Considerando as três direções dos eixos cartesianos tem-se queq ' =− k ∇T . (II.61)O fluxo de calor por condução pode também ser obtido da seguinte forma: considere o volume e asuperfície de controle segundo a Figura II.6.Figura II.6 - Volume de controle para obtenção do fluxo de calor por condução.36
Logo, o fluxo de calor ou quantidade de calor é dado por∫∫ k ∇ T. n dA(II.62)scque, aplicando o teorema da divergência de Gauss, fica∫∫∫ k ∇ 2 Tdv. (II.63)vcA quantidade de calor (Q) em um sistema é dada pela soma da energia interna (U) e do trabalhorealizado (W), logoQ = U + W. (II.64)Pela primeira lei da termodinâmica tem-sedqdtc dT p d α=v+dt dt(II.65)oudqdtc dT dp=p−α . (II.66)dt dtEssas expressões fornecem a taxa de variação de calor por unidade de massa. Portanto, o princípio deconservação de calor é dado pordqdt∫∫∫2= k ∇ Tdv, (II.67)vcou desprezando-se a parte do trabalho realizado (suposto processo isobárico), pordT2cp= k ∇ Td(II.68)dt∫∫∫ vvcconhecida como segunda Lei de Fourier para a transferência de calor num fluido.Para o caso de um fluido em escoamento, aplicando-se o conceito da derivada substantiva expresso pelaEquação I.19 ficaou∂ 2cp( ρT dv ρ VT. n dA)k T dv(II.69)∂ t∫∫∫ + ∫∫ = ∫∫∫ ∇vc sc vc∂ρT2cp( ∫∫∫ dv + . ρ VT dv)k T dv(II.70)∂ t∫∫∫ ∇ = ∫∫∫ ∇vc vc vcou ainda para o caso de um fluido incompressível37
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