Dinâmica de Fluidos - Dca.ufcg.edu.br

Aplicando a seguinte proprie dade vetorial, em que ( V. ∇ ) V = 12∇( V. V) − V × ( ∇× V) caso de irrotacionalidade reduz-se a ( V.∇ ) V = 12∇( V. V), a equação II.19 toma a formaque no1 2 1 ∇ V + ∇p− g = 0. (II.20)2 ρIntegrando II.20 ao longo de uma linha de corrente ( l) na formaou12122 1 ∇ V . dl + ∇ p. dl + gk.dl =ρ∫ ∫ ∫l l l∫l∫l0(II.21)2 1d( V )+ ∫ dp + ∫ gdz = cte. (II.22)ρllDesta forma, tem-se que a equação de Bernoulli é dada porV22p+ + gz = cte. (II.23)ρEm que: 1 22V ≡ energia cinética por unidade de massa; gz ≡energia potencial por unidade de massa e1 ρ p ≡ energia de pressão por unidade de massa.A equação de Bernoulli expressa uma lei de conservação das energias cinética, potencial e de pressão.II.2 TEOREMA DA CIRCULAÇÃOformaSeja a equação do movimento para um fluido incompressível e não viscoso (equação de Euler) nadVdt1 =− ∇ p+g. (II.24)ρUma vez que o campo gravitacional é um campo conservativo, este admite função potencial e pode ser escritocomo g =−∇φem que φ é o geopotencial ( φ=gz), logodVdt1=− ∇p−∇φ .ρTomando a integral de linha da equação II.25 em um circuito fechado, tem-sedV 1 . dl =− ∇p.dl − dldt∫∇φ.ρl l l(II.25)∫ ∫. (II.26)Analisando o integrando do primeiro termo do lado esquerdo da equação II.26 verifica-se que dVdl ( . ) dV. dl V . d (dl = + ). (II.27)dt dt dt30