Dinâmica de Fluidos - Dca.ufcg.edu.br

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Figura I.13 - Potencial de velocidade e vetor velocidade (parte irrotacional).I.9 FUNÇÃO DE CORRENTEDa equação das linhas de corrente para um movimento horizontal,dxudy= , (I.60)vtem-se que vdx − udy = 0. Sendo ψ uma função de corrente, para ψ = constante pode-se escrevervdx − udy = ∂ψx dx + ∂ψ∂ ∂ y dy(I.61)portanto, comparando os termos da equação I.61 conclui-se que∂ψ∂ x∂ψ= v; − = u . (I.62)∂ yNesse caso ∇ . V = 0 ou seja, o escoamento é não divergente.Numa forma vetorial , pode-se escrever que o campo da velocidade não divergente é dado por V = k ×∇ψ(I.63)ψem que k é o vetor unitário na direção vertical.A figura I.14 exemplifica a direção e sentido do vetor velocidade num campo da função de correnteFigura I.14 - Função de corrente e vetor velocidade (parte não divergente)22
Equacionando as expressões correspondentes das velocidades envolvidas , a função de corrente e opotencial de velocidade apresentam as seguintes relações∂ψ∂ y= ∂φ∂ x;∂ψ∂ x=− ∂φ∂ y. (I.64)Portanto, se φ ou ψ for conhecida, pelas relações I.64 pode-se obter a outra função.Um campo de velocidade V é composto por V = V + V(I.65)ψφ em que V e V são as partes não divergente e irrotacional respectivamente, tal queψφ∇ . V ψ= 0 e ∇× V φ= 0(I.66)portanto, o campo de velocidade horizontal pode ser expresso em termos de suas componentes cartesianas como∂ψ ∂φu =− − ;∂ y ∂ x∂ψ ∂φv = − . (I.67)∂ x ∂ yConseqüentemente, a vorticidade e a divergência tomam as formasζ2 2∂ v ∂ u ∂ ∂= − = + ψ =∇∂ x ∂ y ( ∂ x ∂ y)2 ψ; (I.68)2 22 2∂ u ∂ v ∂ ∂δ = + = − + φ = −∇ . (I.69)∂ x ∂ y ( ∂ x ∂ y)2 φ2 2As linhas de potencial de velocidade e de função de corrente formam um sistema ortogonal. Paraverificar a relação de ortogonalidade, basta mostrar que as inclinações das linhas de corrente e de potencial sãorecíprocas negativas em qualquer interseção, ou seja−1dy dy( )φ=cte=− ⎡ ( )ψ cte(I.70)dx ⎣ ⎢ ⎤=dx ⎦⎥23
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