Dinâmica de Fluidos - Dca.ufcg.edu.br

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IV.1 ANÁLISE DIMENSIONALMuitos dos parâmetros adimensionais podem ser entendidos como a relação entre duas forças cujo valorindica a importância relativa de uma delas face à outra. Se algumas forças, num determinado escoamento, sãomuito maiores que outras, freqüentemente é possível desprezar o efeito das forças menores e tratar o fenômenocomo se ele fosse completamente determinado pelas forças mais intensas.Geralmente a solução de problemas práticos de dinâmica de fluidos requer tanto um desenvolvimentoteórico como resultados experimentais. Através de um agrupamento de grandezas significativas em parâmetrosadimensionais é possível reduzir o número de variáveis presentes e tornar este resultado compacto (equações ougráficos) aplicável a todas as situações semelhantes.As dimensões básicas da dinâmica são força, massa, comprimento e tempo, relacionadas pela segundalei de NewtonF= m.a(IV.1)−2−2em que m≡M , a ≡ L T . Logo F ≡ MLT .Vejamos agora a Tabela IV.1 mostrando as dimensões de algumas grandezas freqüentemente utilizadas.Tabela IV.1 - Dimensões das grandezas físicas usadas mais freqüentemente----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------GRANDEZA SÍMBOLO DIMENSÕES (M,L,T)----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------comprimento l Ltempo t Tmassa m Mtemperatura T Θforça F MLT −2velocidade V LT −1aceleração a LT −2área A L 2volume v L 3vazão Q LTpressão ou queda de pressão ∆p−1 −2ML Taceleração da gravidade g LT −2densidade ρ ML −3viscosidade dinâmica µ−1 −1ML Tviscosidade cinemática ν LTtensão de cisalhamento σ−1 −2ML T----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------−2A segunda lei de Newton na forma dimensional é F = MLT , mostrando que três dimensões sãoindependentes. Um sistema de unidades comumente empregado na análise dimensional é o sistema M, L,T.Para entendermos os objetivos da analise dimensional, vejamos a seguinte questão: admite-se que avazão através de um tubo capilar horizontal depende da queda de pressão por unidade de comprimento, dodiâmetro do tubo e da viscosidade. Portanto, determinaremos a forma da equação que rege o fenômeno.58
As grandezas e suas dimensões são as seguintes:vazão Q LT3 −1;∆p−queda de pressão por comprimentoML Tldiâmetro DL ;2 −2viscosidade µ−1 −1ML T .Logo, em termos de função tem-se∆pQ = Q ( , D,µ) .l(IV.2)Portanto, pode-se escrever queQ ∝ (p)lD . (IV.3);∆ α β µ γ− γSubstituindo-se as dimensões e tomando a igualdade, tem-se3 −1 −2 −2 α β −1 1L T = cte.( ML T ) ( L) ( ML T )(IV.4)e, portanto, conclui-se que⎧L⇒ 3=− 2α + β −γ⎪⎨ M ⇒ 0 = α + γ(IV.5)⎪⎩T⇒ 1= 2α + γ.Resolvendo esse sistema de equações obtém-se que α = 1; β= 4 e γ= −1. Logo,pDQ = cte. ∆ 4(IV.6)lµdo que se conclui que a análise dimensional não fornece nenhuma informação sobre o valor numérico daconstante adimensional. Experiências mostram que o valor da constante para esta expressão é π . 128Quando se trabalha com várias grandezas tem-se bastante problemas. Para facilitar essas questõesvamos estudar uma metodologia mais criteriosa, o teorema π ou teorema de Buckinghan.IV.1.1 TEOREMA DE BUCKINGHANO teorema π ou teorema de Buckinghan mostra que num problema físico envolvendo n grandezas nasquais estão envolvidas m dimensões, as grandezas podem ser agrupadas em n − m parâmetros adimensionaisindependentes.Sejam A 1, A 2, A 3,..., A nas grandezas envolvidas, tais como pressão, viscosidade, velocidade, etc.Sabe-se que todas as grandezas são essenciais à solução devendo pois existir alguma relação funcionalF( A , A , A ,..., A n)1 2 3= 0. (IV.7)Se π1, π2, π3, etc. representam grupos adimensionais das grandezas A1, A2,A3, etc. com m dimensõesenvolvidas, então existe uma equação do tipo59
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ENILSON PALMEIRA CAVALCANTIUniversi
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Agradecimentos aos colegas Dr. Suka
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