numerisk analys av explosionslaster i bergtunnlar - Rosengren ...

Numerisk analys av explosionslaster i bergtunnlar
3.5 Mekanisk dämpning
3.5.1 Allmänt
För statiska analyser beräknar FLAC automatiskt vilken dämpning som skall appliceras för
det simulerade systemet så att jämvikt uppnås så fort som möjligt. Detta kallas för ”kritisk
dämpning”.
38(85)
För dynamiska analyser däremot bör den mekaniska dämpningen i modellen försöka
reproducera det naturliga systemets eneregiförluster när det utsätts för en dynamisk last. I jord
och berg är naturlig dämpning huvudsakligen hysteresisk, d.v.s. oberoende av frekvensen.
Denna typ av dämpning är dock svår att reproducera numeriskt. För det första dämpar många
enkla hysteresiska funktioner inte alla komponenter lika när olika vågformer superponeras,
och för det andra så leder hysteresiska funktioner till spänningsvägsberoende, vilket gör
resultaten svåra att tolka. Om konstitutiva villkor (materialmodeller) kan formuleras så att de
innehåller en adekvat representation av det hysteresiska beteendet i det reella materialet så
behövs ingen tillkommande dämpning. FLAC har två huvudtyper av dämpning, nämligen
Rayleigh-dämpning och s.k. ”local damping”.
Rayleigh-dämpning innehåller två viskösa element i vilka den absorberade energin är
frekvensberoende, men har den egenskapen att frekvensoberoende kan uppnås över ett
begränsat intervall av frekvenser. För Rayleigh dämpning kan dämningsmatrisen formuleras
som summan av komponenter proportionella mot mass- och styvhetsmatriserna enligt
Ekvation 3.6.
C= αM+ βK
där
α = mass-proportionell dämpningskonstant
β = styvhets-proportionell dämpningskonstant.
För ett system med många frihetsgrader kan den kritiska dämpningsnivån, ξi, vid vilken
vinkelfrekvens som helst hos systemet, ωi, formuleras som (Bathe och Wilson, 1976):
i i
(3.6)
2
α+ βω = 2 ω ξ
(3.7)
eller
ξ
i
i
α
ω βω
1
= ( + i ) (3.8)
2
i
Den kritiska dämpningsnivån, ξi, är också känd som fraktionen av den kritiska dämpningen
för tillståndet ”i” med vinkelfrekvensen ωi.