TOPOLOGIA I Pomocnik studenta Zintegrowane notatki do wykładu ...

Rozdział 2
Generowanie topologii i baza
2.1 Generowanie topologii
Niech X będzie dowolnym zbiorem a U ⊂ P(X) dowolną rodziną jego podzbiorów.
Definicja 2.1.1. Topologią generowaną przez rodzinę U ⊂ P(X) nazywamy najmniejszą
topologię w X zawierającą U - czyli przecięcie wszystkich topologii zawierających rodzinę
U. Oznaczamy ją T (U).
Konstrukcja topologii T (U):
1. dołączamy do U przecięcia skończenie wielu elementów rodziny U definiując rodzinę:
U ∩ := {U1 ∩ · · · ∩ Uk | Ui ∈ U}
Rodzina U ∩ jest już zamknięta ze względu na branie przecięć skończenie wielu zbiorów
tzn. jeśli V1, V2 ∈ U ∩ to V1 ∩ V2 ∈ U ∩
2. Do rodziny U ∩ dołączamy wszystkie sumy zbiorów należących do U ∩ definiując ro-
dzinę:
(U ∩ ) ∪ := {
i∈I
Vi | Vi ∈ U ∩ }
Rodzina (U ∩ ) ∪ jest zamknięta ze względu na branie sum zbiorów tzn. dla dowolnej
rodziny {Wj}j∈J ⊂ (U ∩ ) ∪ jej suma
Wj ∈ (U ∩ ) ∪ .
3. T (U) = (U ∩ ) ∪
j∈J
Stwierdzenie 2.1.1. Niech (X, T ) będzie dowolną przestrzenią topologiczną, Y będzie zbiorem
oraz V ⊂ P(Y ) rodziną jego podzbiorów. Przekształcenie f : (X, T ) → (Y, T (V)) jest
ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego zbioru V ∈ V jego przeciwobraz f −1 (V ) ∈ T .
Przykład 2.1.1. Wybór rodziny generującej topologię nie jest oczywiście jednoznaczny;
np. cała topologia generuje samą siebie. W przestrzeni metrycznej topologia T (d) jest
generowana przez każdą z następujących rodzin:
1. Rodzinę wszystkich kul otwartych.
9