TOPOLOGIA I Pomocnik studenta Zintegrowane notatki do wykładu ...

9.2. PUNKTOWANA HOMOTOPIA 65
Deifnicja punktowanej homotopii prowadzi w oczywisty sposób do definicji punktowanej
homotopijnej równoważności. Np. włożenie j : (S n−1 , e1) ⊂ (R n \ {0}, e1) jest punktowaną
homotopijną równoważnością, gdyż retrakcja r : (R n \ {0}, e1) → (S n−1 , e1) jest
przekształceniem punktowanym, rj = id S n−1 oraz jr i id R n \{0} wiąże punktowana homo-
topia: H : (Rn \ {0}) × [0, 1] → Rn \ {0} zadana wzorem: H(p, t) := (1 − t) p
||p|| + tp.
Podobnie jak zwykła homotopia, punktowana homotopia ∼ jest relacją równoważności
w zbiorze przekształceń punktowanych Map ∗(X, Y ) ⊂ Map (X, Y ). Zbió/r klas
punktowanej homotopii oznaczamy [X, Y ]∗ := Map ∗(X, Y )/ ∼. Konstrukcje w dowodzie
Stw. 9.1.1 zachowują homotopie punktowane. Istnieje odwzorowanie zapominania
Φ: [X, Y ]∗ → [X, Y ] przypisujące klasie homotopii punktowanej odwzorowania jego zwykłą
klasę homotopii: Φ[f]∗ = [f]. Odwzorowanie to w ogólności nie musi być ani surjekcją,
ani injekcją. Dla odwzorowań w okrąg S1 mamy jednak następujące:
Stwierdzenie 9.2.1. Dla dowolnej przestrzeni punktowanej (X, x0) i punktowanego okręgu
(S 1 , 1), odwzorowanie Φ: [X, S 1 ]∗ −→ [X, S 1 ] jest bijekcją.
Lemat 9.2.1. Niech z0 ∈ S 1 . Odwzorowanie fz0 : S 1 → S 1 , fz0(w) = wz0 jest homotopijne
z identycznością.
Dowód 9.2.1. Zastosujemy dwukrotnie powyższy lemat.
Φ jest surjekcją, bo dowolne f : X → S 1 jest homotopijne z odwzorowaniem g : X → S 1
g(x) := f(x)f(x0) −1 dla którego g(x0) = 1.
Φ jest injekcją. Jeśli F : X × I → Y jest homotopią między punktowanymi przekształceniami,
to G(x, t) := F (x, t)F (x0, t) −1 jest punktowaną homotopią.
Na przestrzeniach punktowanych można wykonywać konstrukcje opisane w Rozdziale
3. Podprzestrzeń przestrzeni punktowanej zawierająca wyróżniony punkt jest oczywiście
przestrzenią punktowaną a włożenie przekształceniem punktowanym, przestrzeń ilorazowa
jest przestrzenią punktowana - wyróżnionym punktem jest w niej klasa równoważności
punktu wyróżnionego. Podobnie produkt kartezjański rodziny przestrzeni z wyróżnionym
punktem (Xs, x 0 s) s∈S posiada naturalny punkt wyróżniony x 0 := {x 0 s}s∈S, a rzutowania na
czynniki są odwzorowaniami punktowanymi. Inaczej jest z konstrukcją sumy prostej; w sumie
rozłącznej mamy dwa punkty wyróżnione, które następnie utożsamiamy. Odpowiednik
sumy prostej dla przestrzeni punktowanych nazywa się bukietem, co uzasadnia następująca:
Definicja 9.2.2. Niech (X, x0) (Y, y0) będą przestrzeniami z wyróżnionymi punktami. Bukietem
tych przestrzeni nazywamy przestrzeń punktowaną X ∨ Y := X ⊔ Y/ ∼ gdzie
(x0, 1) ∼ (y0, 2) i punktem wyróżnionym jest klasa [(x0, 1)] = [(y0, 2)], wyposażoną w
włożenia jX : X → X ∨ Y oraz jY : Y → X ∨ Y (por. Definicja 4.5.2).
Zauważmy, że bukiet X ∨ Y jest homeomorficzny z podzbiorem produktu kartezjańskiego:
X ∨ Y = {(x, y) ∈ X × Y : x = x0 lub y = y0}.
i ten podzbiór bywa przyjmowany za definicję bukietu.