TOPOLOGIA I Pomocnik studenta Zintegrowane notatki do wykładu ...

76 ROZDZIAŁ 9. HOMOTOPIA
Niech teraz n = 2. Pokażemy, że odwzorowanie g : S 1 → R 2 \ {0} = C ∗ spełniające
warunek g(−z) = −g(z) nie może być ściągalne, bowiem musi mieć nieparzysty stopień.
Rozważmy drogę zamkniętą [0, 1] p −→ S 1 g −→ C ∗ , którą będziemy oznaczać gp i obliczymy jej
stopień. Jeśli gp(0) = g(1) = z0 = |z0| exp(iθ0) to
Niech ˜g ′ p : [0, 1
gp( 1
2 ) = g(−1) = −z0 = |z0| exp(i(θ0 + (2k + 1)π))
2 ] → C∗ będzie logarytmem gp|[0, 1
2 ]. Z powyższego wzoru wynika, że dla
pewnego k ∈ Z zachodzi równość: ˜g ′ p( 1
2 ) = ˜g′ p(0) + (2k + 1)πi. Warunek g(−z) = −g(z)
oznacza, że odwzorowanie g, a więc logarytm gp jest wyznaczony przez wartości g na
górnym półokręgu. Zdefiniujmy więc logarytm ˜gp : [0, 1] → C∗ wzorem:
˜gp(t) :=
˜g ′
p(t) dla 0 t 1
2
˜g ′ p(t − 1
2 ) + (2k + 1)πi dla 1
2 t 1
Stąd (2πi) deg(g) = ˜gp(1) − ˜gp(0) = ˜g ′ p( 1
2 ) + (2k + 1)πi − ˜g′ p(0) =
˜g ′ p(0) + (2k + 1)πi + (2k + 1)πi − ˜g ′ p(0) = 2(2k + 1)πi, a więc deg(g) = 2k + 1 jest liczbą
nieparzystą, czyli g nie jest ściągalne.
Uwaga 9.7.3. Podobnie jak twierdzenie Brouwera, twierdzenie Borsuka – Ulama zachodzi
dla dowolnrgo wymiaru n i także stanowi konsekwencję klasyfikacji homotopijnej odwzorowań
S n → R n \ {0} przez odpowiednio zdefiniowany stopień.