TOPOLOGIA I Pomocnik studenta Zintegrowane notatki do wykładu ...

18 ROZDZIAŁ 4. KONSTRUKCJE PRZESTRZENI TOPOLOGICZNYCH
Popychanie topologii
Niech teraz Y będzie ustalonym zbiorem a g := {gj : Xj → Y }j∈J rodziną przekształceń
określonych na przestrzeniach topologicznych (Xj, Tj) o wartościach w zbiorze Y .
Definicja 4.1.2. T∗(g) największa topologia w Y , w której wszystkie odwzorowania {gj :
Xj → Y }j∈J są ciągłe.
Stwierdzenie 4.1.3. T∗(g) = {U ⊆ Y : ∀j∈J g −1
j (U) ∈ Tj}
Stwierdzenie 4.1.4. Odwzorowanie (Y, T∗(g)) f −→ (Z, TZ) jest ciągłe wtedy i tylko wtedy,
gdy dla każdego j ∈ J złożenie (Xj, Tj) gj
−→ (Y, T∗(g)) f −→ (Z, TZ) jest ciągłe.
4.2 Podprzestrzeń
Rozpatrujemy przestrzeń (X, T ) i jej podzbiór A ⊂ X. Chcemy określić topologię T |A w
tym zbiorze, wyznaczoną przez topologię w całej przestrzeni. Naturalnym żądaniem jest
aby odwzorowanie włożenia ι: A ⊂ X, ι(a) := a było ciągłe, a z drugiej strony topologia
ta była jak najbliższa topologii w X. Definiujemy więc topologię T |A jako przeciagnięcie
topologii T przez włożenie ι:
T |A := T ∗ (ι) = {ι −1 (U) | U ∈ T } = {U ∩ A | U ∈ T }
Zauważmy, że jeśli B jest bazą topologii T , to rodzina B|A := {U ∩ A: U ∈ B} jest bazą
topologii T |A – podobnie dla bazy w punkcie.
Podobnie jak w przypadku zbiorów otwartych w T |A, zbiory domknięte w topolgii
podprzestrzeni to przecięcia zbiorów domkniętych w całej przestrzeni z tą podprzestrzenią:
F T |A = {B ∩ A ⊂ A: B ∈ FT }.
Stwierdzenie 4.2.1. Dla dowolnego podzbioru B ⊂ A zachodzi równość cl (A,T |A)(B) =
cl (X,T )(B) ∩ A.
Podobna równość nie zachodzi dla wnętrza zbioru!