TOPOLOGIA I Pomocnik studenta Zintegrowane notatki do wykładu ...

4.4. PRODUKT KARTEZJAŃSKI 23
Stwierdzenie 4.4.4. Produkt kartezjański
(Xs, Ts) przestrzeni Hausdorffa jest prze-
s∈S
strzenią ośrodkową wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego s ∈ S przestrzeń (Xs, Ts) jest
ośrodkowa oraz co najwyżej 2 ℵ0 spośród przestrzeni (Xs, Ts) ma więcej niż jeden punkt.
Dowód. =⇒ Jeśli
(Xs, Ts) jest ośrodkowa to dla każdego s ∈ S przestrzeń (Xs, Ts) jest
s∈S
ośrodkowa jako obraz ciągły przestrzeni ośrodkowej (p. Stw. 4.3.2).
Niech teraz T := {t ∈ S | |Xt| 2} i dla każdej przestrzeni Xt niech Ut, Vt ∈ Tt
będą rozłącznymi niepustymi podzbiorami otwartymi. Wykażemy, że |T | 2ℵ0 . Niech
G ⊂
Xs będzie przeliczalnym podzbiorem gęstym; ∀t∈T Gt := G ∩ 〈Ut〉. Wykażemy,
s∈S
iż Gt = Gr jesli r = t. Istotnie, dla dowolnych r, t ∈ T wybierzmy element d(r, t) ∈
G ∩ 〈Ur, Vt〉 = D ∩ 〈Ur〉 ∩ 〈Vt〉. Z definicji wynika, że d(r, t) ∈ Gr , ale d(r, t) /∈ Gt . Wynika
stąd, że przyporzadkowanie T ∋ t Gt ∈ P(G) jest injekcją, a więc |T | |P(G)| 2ℵ0 .
⇐= Załóżmy, że mamy rodzinę przestrzeni ośrodkowych indeksowanych liczbami rzeczywistymi
{(Xr, Tr)}r∈R i niech ∀r∈R ιr : (N, Tδ) → (Xr, Tr) będzie przekształceniem przeliczalnej
przestrzeni dyskretnej (liczb naturalnych) na przeliczalny podzbiór gęsty w Xr.
Obraz produktu kartezjańskiego tych odwzorowań
ιr :
r∈R
N →
r∈R
Xr jest podzbio-
r∈R
rem gęstym. Wystarczy zatem wskazć przeliczalny podzbiór gęsty w przestrzeni
(N, Tδ).
Przypomnijmy, że elementy iloczynu kartezjańskiego to odwzorowania φ: R → N. Wybierając
dowolną rodzinę rozłącznych odcinków domkniętych o końcach wymiernych [p·, q·] :=
{[p1, q1], .., [pk, qk]} i ciąg liczb naturalnych n· := {n1, ..., nk} definiujemy funkcję:
ni jeśli r ∈ [pi, qi]
φ ([p·,q·],n·)(r) =
0 jeśli r /∈ [pi, qi]
Zbiór funkcji postaci φ ([p·,q·],n·) jest przeliczalny oraz jest gęsty w
(N, Tδ). Wystarczy
wykazać, że dowolny zbiór bazowy zawiera taką funkcję. Zbiory bazowe opisane w Stw.
4.4.1 są postaci U(r1, .., rk; n1, ..., nk) := {ψ : R → N | ψ(ri) = ni} gdzie ri ∈ R są różnymi
liczbami rzeczywistymi oraz ni ∈ N. Wybierając odcinki rozłączne o końcach wymiernych
[pi, qi] ∋ ri otrzymujemy funkcję φ ([p·,q·],n·) ∈ U(r1, .., rk; n1, ..., nk).
Stwierdzenie 4.4.5. Produkt kartezjański
(Xs, Ts) jest przestrzenią Hausdorffa wtedy
i tylko wtedy gdy dla każdego s ∈ S przestrzeń (Xs, Ts) ma wlasność Hausdorffa.
s∈S
Dowód. =⇒ Jeśli dwa punkty x = {xs}s∈S, y = {ys}s∈S są różne to istnieje t ∈ S takie,
że xt = yt. Wybierzmy w przestrzeni Xt otoczenia rozłączne Uxt ∋ xt oraz Uyt ∋ yt. Zbiory
〈Uxt〉 ∋ x oraz 〈Uyt〉 ∋ y są rozłącznymi otoczeniami x, y (oznaczenia p. 4.4.1).
⇐= Odwrotnie, jeśli produkt kartezjański jest przestrzenią Hausdorffa, to dowolna
podprzestrzeń jest przestrzenią Hausdorffa, a zatem dla każdego s ∈ S przestrzeń (Xs, Ts)
jest przestrzenią Hausdorffa.
Twierdzenie 4.4.1. Produkt kartezjański niepustych przestrzeni
(Xs, Ts) jest przestrze-
nią metryzowalną wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego s ∈ S przestrzeń (Xs, Ts) jest metryzowalna
i wszystkie one, poza przeliczalną liczbą są jednopunktowe.
s∈S
r∈R
r∈R