TOPOLOGIA I Pomocnik studenta Zintegrowane notatki do wykładu ...

74 ROZDZIAŁ 9. HOMOTOPIA
Dowód.
Ad 1. Ponieważ odcinek jest przestrzenią spójną, więc na mocy Stw. 9.6.2 logarytm ˜α
jest wyznaczony jednoznacznie z dokładnością do składnika 2kπi, a więc deg(α) nie zależy
od wyboru logarytmu. Ponieważ α(0) = α(1) więc ˜α(1) − ˜α(0) = 2dπi, dla pewnej liczby
całkowitej d ∈ Z skąd wynika, że deg(α) = d jest liczbą całkowitą.
Ad 2. Skoro α0 ∼ α1 to istnieje homotopia H : [0, 1] × [0, 1] → C ∗ taka, że H(·, 0) =
α0, H(·, 1) = α1, H(0, t) = H(1, t). Ponieważ kwadrat jest zwartą przestrzenią ściągalną
więc na mocy Tw. 9.6.1 przekształcenie H posiada logarytm ˜ H : [0, 1]×[0, 1] → C. Rozważ-
my funkcję d(t) := 1
2πi ( ˜ H(1, t) − ˜ H(0, t)). Funkcja ta jest ciągła i na mocy pkt. 1 przybiera
wartości całkowite, a więc jest stała. Wynika stąd, że deg(α0) = d(0) = d(1) = deg(α1)
Ad 3. Jesli ˜α: [0, 1] → C i ˜ β : [0, 1] → C są odpowiednio logarytmami α i β, to ˜α + ˜ β
jest logarytmem iloczynu α · β.
Ad 4. Logarytmem funkcji potęgowej φn(z) := z n traktowanej jako odwzorowanie
odcinka φ ′ n : [0, 1] → C ∗ , φ ′ n(t) = exp(2nπit) jest przekształcenie ˜ φ ′ n(t) = 2nπit a więc
deg(φn) = n.
Twierdzenie 9.7.1. Stopień wyznacza izomorfizm grup deg: [S 1 , C ∗ ] −→ Z.
Dowód. Na mocy Stw. 9.7.2 deg : [S 1 , C ∗ ] −→ Z jest dobrze zdefiniowanym homomorfizmem
grup i jest epimorfizmem. Pozostaje zauważyć, że jest monomorfizmem. Niech deg(α) = 0;
oznacza to, że dla pewnego logarytmu ˜α(1)− ˜α(0) = 0, czyli logarytm jest drogą zamkniętą,
a więc definiuje przekształcenie ˜α: S 1 → C takie, że α = p˜α. Ponieważ C jest ściągalna,
więc α ∼ 1 .
Ostatnie twierdzenie powiada, że dowolne odwzorowanie α: S 1 → C ∗ jest homotopijne
z jednym z odwzorowań potęgowych φn i żadne dwa różne takie odwzorowania nie są
homotopijne.
Wniosek 9.7.1. [S 1 ∨ · · · ∨ S 1 , S 1 ] Z × · · · × Z
Sformułujemy kilka ważnych wniosków wypływających ze znajomości homotopijnej klasyfikacji
odwzorowań S 1 → C ∗ .
Wniosek 9.7.2. Okrąg S 1 nie jest ściągalny i nie jest retraktem dysku
D 2 := {z ∈ C: ||z|| 1}.
Dowód. Dla n = 1 twierdzenie wynika ze spójności odcinka oraz niespójności sfery S 0 .
Odwzorowanie identycznościowe id : S 1 → S 1 ma stopień 1, zatem nie jest ściągalne. Jeśli
istniałaby retrakcja r : D 2 → S 1 , to oznaczałoby to, że identyczność na S 1 jest ściągalna
(p. Stw. 9.5.1).
Uwaga 9.7.1. Sfera S n nie jest ściągalna dla każdego n 0. Zauważmy, że S 0 = {−1, 1} nie
jest spójna. Dowód dla n > 1 opiera się na konstrukcji stopnia dla odwzorowań S n → S n . 4 .
Poniższe słynne twierdzenie Brouwera 5 o punktach stałych także zachodzi dla dysków
dowolnych wymiarów i jest wnioskiem z nieściągalności sfery.
4 John W. Milnor Topology from Differentiable Viewpoint Tłum. polskie PWN 1969
5 Luitzen Egbertus Jan Brouwer (Overschie, Rotterdam 1881 - 1966 Blaricum, Netherlands) best known
for his topological fixed point theorem. He founded the doctrine of mathematical intuitionism, which views
mathematics as the formulation of mental constructions that are governed by self-evident laws. [Mac Tutor]