TOPOLOGIA I Pomocnik studenta Zintegrowane notatki do wykładu ...

4.4. PRODUKT KARTEZJAŃSKI 21
Definicja 4.4.1. Produktem (lub iloczynem) kartezjańskim rodziny zbiorów {Xs}s∈S nazywamy
zbiór:
Xs := {φ : S →
Xs | ∀s∈S φ(s) ∈ Xs}
s∈S
s∈S
wraz z rodziną rzutowań na współrzędne p := {
Xs
s∈S
pt
−→ Xt}t∈S gdzie pt({xs}s∈S) := xt
Formalnie, punkty produktu kartezjańskiego są funkcjami określonymi na zbiorze indeksów
S. Funkcję φ można zapisać jako rodzinę jej wartości {φ(s)}s∈S, tak więc punkty
w iloczynie kartezjańskim to indeksowane rodziny {xs}s∈S gdzie xs ∈ Xs, co nawiązuje
do dobrze znanego zapisu elementów iloczynu kartezjańskiego indeksowanego liczbami
naturalnymi jako ciągów (x1, x2, ..).
Definicja 4.4.2. Produktem (lub iloczynem) kartezjańskim rodziny przestrzeni topologicznych
nazywamy zbiór {Xs}s∈S wyposażony w topologię T ∗ (p) przeciągnietą przez rodzinę
projekcji p
(Xs, Ts) := (
Xs, T ∗ (p))
s∈S
wraz z (ciągłymi) odwzorowaniami (
s∈S
s∈S
Xs, T ∗ (p)) pt
−→ (X, Tt).
Z definicji topologii generowanej przez rodzinę przekształceń wynika natychmiast następujące:
Stwierdzenie 4.4.1.
1) Topologia iloczynu kartezjańskiego jest generowana przez zbiory postaci
p −1
t (Ut) =
gdzie Us = Xs dla s = t oraz Ut ∈ Tt.
s∈S
Us ⊂
2) Jeśli dla każdego s ∈ S wybrana jest baza Bs topologii Ts, to bazę iloczynu kartezjańskiego
tworzą zbiory postaci
s∈S
Xs
〈Us1, .., Usn〉 := p −1
s1 (Us1) ∩ . . . p −1
sn (Usn) =
s∈S
Us ⊂
gdzie Us = Xs dla s poza pewnym skończonym zbiorem indeksów {s1, .., sn} oraz Usi ∈
.
Bsi
Wniosek 4.4.1. Rzutowania (
s∈S
tzn. obrazy zbiorów otwartych są otwarte.
s∈S
Xs, T ∗ (p)) pt
−→ (X, Tt) są odwzorowaniami otwartymi
Dowód. Wystarczy pokazać, że obrazy zbiorów z pewnej bazy topologii T ∗ (p) są otwarte,
co wynika ze Stw. 4.4.1 oraz faktu, że pt(
Us) = Ut.
s∈S
Stwierdzenie 4.4.2 (Produkty kartezjańskie odwzorowań).
Xs